群是非常简单的代数结构，因为它只有一种运算。大量的数学对象和现实应用都会遇到不止一种运算的情况。
环是一种比群更复杂的、包含两个运算的代数结构，有着更为广阔的应用

环的定义

定义1：设非空集合R上有两个代数运算，分别称为加法“+”和乘法“∙”。如果这两个运算满足以下三组条件，则称R为环。
（1）是一个交换群，其中加法零元用0来表示，元素的负元用表示。
（2）满足封闭性和结合律，即对于R中的任意三个元素a,b,c，还在R中，且。
（3）乘法对于加法有左分配律和右分配律，也就是说对于R中的任意三个元素a, b, c, 有：，。
环一般记作，其中两个元素相乘也可以简写为。
定义2 如果环R的乘法可换，即对于R中的任意元素a和b，一定有ab=ba，则称R为可换环（或者交换环），否则称为不可换环（或者非交换环）
显然如果已知R是交换环，则其左分配律和右分配律是一致的，证明时只需要证明其中一个即可。
定义3 如果环的元素个数有限，则称为有限环，否则称为无限环，环的元素个数称为环的阶，记作。
例1 常见的几个数集Z, Q, R, C对于数的加法和乘法都构成了环。
例2 实数集R上全体多项式组成的集合对于多项式的加法和乘法构成一个环。
例3 实数集R上的全体n阶方阵组成的集合记作，它对于矩阵的加法和乘法构成一个非交换环。
定义4 如果环R中存在乘法单位元，即存在特殊的元素1，对于R中的任意元素a，满足，称1为单位元，有时候称作幺元。
含单位元的环也称为含幺环。
定义5 设R是含幺环，如果对于元素a，存在元素b，使得ab=ba=1，则称b为a的逆元，记作a逆，此时称a为可逆元。
注意环中关于可逆性和逆元的定义特指乘法中的可逆性和逆元。

环的零因子

定义6 若环R中存在非零元a和b，满足条件ab=0，则称a为左零因子，b为右零因子。
环中的可逆元一定不是零因子。因为如果a为环R的可逆元，且ab=0，则等式两边同时左乘a在环R中的逆元a逆，就可以得到b=0，所以a一定不是零因子。
等价描述：零因子也一定不是可逆元。
例4 两个典型的无零因子环：整数环；多项式环。

三类特殊的环

定义7 无零因子的含幺交换环称为整环。整数环和多项式环都是整环。
定义8 设R为一个环且R的元素个数大于1，如果R中有单位元1并且任一非零元均有逆元，则称R为除环。可交换的除环称为域。
  1. 有理数集Q，实数集R和复数集C都是域，一般将其称为数域。
  2. 整数集Z存在不可逆元，所以不是除环，也不是域。
  3. 除环和域都没有零因子。这是因为除环和域中的任意非零元都可逆，而所有可逆元都不是零因子。
三类特殊环之间的关系：
  • 如果一个环是域，那它一定既是整环又是除环；
  • 如果一个环既是整环也是除环，那它一定是域。
如果F是一个域，则可以在F上定义减法：，也可定义除法：。
  • 要求b不为0。
  • 因此在域中可以进行“加、减、乘、除（其中除元素不为0）”的四则混合运算，这种运算规则非常类似于数域Q、R、C中的相应运算。

剩余类环

定义9 在整数模n剩余类上定义加法和乘法运算：


可以验证在这样的加法和乘法下构成了一个环，称为整数模n剩余类环。
定理1 对于整数模n剩余类环中的非零元，当m与n互素的时候，可逆，如果m与n不互素，则为零因子。
  • 证明 如果整数m与n互素，即，此时存在整数s,t使得，两边同时模n，可以得到。
  • 所以在中，也就是说。
  • 如果整数m与n不互素，则，我们不妨设。
  • 此时
  • 因此是零因子。
定理2 若p是一个素数，则剩余类环是域，若n是合数，则剩余类环有零因子，不是域。
证明 若p是素数，则，因为p与1,2,...,p-1均互素，根据定理1，中所有p-1个非零元均可逆，因此是域。
反之，若n是合数，不妨设，则在中，因此都是零因子，所以不是域。
上面的定理实际上给出了一种最简单的有限域，即包含素数个元素的剩余类环。
例5 根据定理2，是一个有限域，因此每个非零元都可逆，可以求出它们的逆元如下：
。
例6 根据定理2，6是合数，所以不是域，其中可逆元只有两个：。
其它的三个非零元都是零因子，可以验证：。