线段树

基本概念

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN)。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。
来自百度百科

实现原理
每个节点代表一个区间，在对线段操作的线段树中，每个点代表一条线段，在用线段树维护数列信息的时候，每个点代表一个数，但本质上都是每个点代表一个数。

从这个很丑的图可以看出：维护的还是最小的儿子节点

1、每个节点的左孩子区间范围为[l，mid]，右孩子为[mid+1,r]
2、对于结点k，左孩子结点为2k，右孩子为2k+1，这符合完全二叉树的性质

模板代码

从PPT上复制总结下来的

定义线段树

struct Node{
    int left, right;
    …
}node[MAXN*4];
//一般开到四倍 即MAXN<<=2;

建树 Build
即初始化树

#define L(u) (u<<1)//左孩子 即u*2
#define R(u) (u<<1|1)//右孩子 即u*2+1
void Build (int u,int left,int right){ //u表当前结点 
//left right 表左区间范围[left,right]
    node[u].l = left,node[u].r = right;
    .........        //结点信息的初始化
    if (node[u].l == node[u].r){//到叶结点 return
        .........//某些赋值
        return ;
    }
    int mid = (node[u].l + node[u].r)>>1;
    Build (L(u),left,mid);
    Build (R(u),mid+1,right);
    Pushup(u);
}

向上回溯 Pushup
该函数就是由子结点递归回来修改父结点中的信息

void Pushup(int u){ 
node[u].sum = node[L(u)].sum + node[R(u)].sum;//价值
    …….
    …… return ;
}

延时更新 Pushdown
调用此函数时，结点中一般有个状态标志位用来判断是否需要往下更新，可以防TLE 只在查询的时候修改

void Pushdown (int u) {//延迟覆盖操作
if (node[u].state == -1) {
//更新父结点，左右子结点信息 }
else if (node[u].state == 1){
//更新父结点，左右子结点信息
}
    else {
	………
}
    
}

更新修改操作 Update

点的修改

void Update(int L,int C,int l,int r,int rt){//l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号
	if(l==r){//到叶节点，修改 
		Sum[rt]+=C;
		return;
	}
	int m=(l+r)>>1;
	//根据条件判断往左子树调用还是往右 
	if(L <= m) Update(L,C,l,m,rt<<1);
	else       Update(L,C,m+1,r,rt<<1|1);
	PushUp(rt);//子节点更新了，所以本节点也需要更新信息 
}

区间的修改

void Update(int L,int R,int C,int l,int r,int rt){//L,R表示操作区间，l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号 
	if(L <= l && r <= R){//如果本区间完全在操作区间[L,R]以内 
		Sum[rt]+=C*(r-l+1);//更新数字和，向上保持正确
		Add[rt]+=C;//增加Add标记，表示本区间的Sum正确，子区间的Sum仍需要根据Add的值来调整
		return ; 
	}
	int m=(l+r)>>1;
	PushDown(rt,m-l+1,r-m);//下推标记
	//这里判断左右子树跟[L,R]有无交集，有交集才递归 
	if(L <= m) Update(L,R,C,l,m,rt<<1);
	if(R >  m) Update(L,R,C,m+1,r,rt<<1|1); 
	PushUp(rt);//更新本节点信息 
}

以上都以求和为例

查询操作 Query

Data Query(int u,int left,int right)
{
     if (left <= node[u].l&&node[u].r <= right)
     return node[u].sum;
     Pushdown(u);//延迟更新
     int mid = (node[u].l + node[u].r)>>1;
     if (right <= mid) return Query(L(u),left,right);
     else if (left > mid) return Query(R(u),left,right);
     else return (Query(L(u),left,mid) + Query(R(u),mid+1,right));
     Pushup(u);
}

练习

1.EXAM 1711 http://exam.upc.edu.cn/problem.php?id=1711
维护的应该是区间的最小值，很容易T，需要输入挂,延迟更新应该没有用到，然后其实这道题正解不是线段树，但是可以用用线段树的思想：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int minn[maxn<<2],add[maxn<<2],s[maxn];
#define l(u) (u<<1)
#define r(u) (u<<1|1)
inline bool scan_d(int &num)
{
    char in;
    bool IsN=false;
    in=getchar();
    if(in==EOF) return false;
    while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();
    if(in=='-')
    {
        IsN=true;
        num=0;
    }
    else num=in-'0';
    while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9')
    {

        num*=10,num+=in-'0';

    }
    if(IsN) num=-num;
    return true;
}
struct node
{
    int l,r;
} t[maxn<<2];
void pushup(int u)//向上更新区间最小值
{
    minn[u]=min(minn[l(u)],minn[r(u)]);
}
void pushdown(int u)
{
    minn[u]-=add[u];
    add[l(u)]+=add[u];
    add[r(u)]+=add[u];
    add[u]=0;
}
void build(int u,int l,int r)
{
    t[u].l=l,t[u].r=r;
    if(l==r)
    {
        minn[u]=s[l];
        return;
    }
    if(l>r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l(u),l,mid);
    build(r(u),mid+1,r);
    pushup(u);
}
void update(int u,int al,int ar,int x)
{
    if(add[u])pushdown(u);//如果u区间还没有处理
    if(al<=t[u].l&&t[u].r<=ar)
    {
        add[u]=x;
        pushdown(u);
        return;
    }
    if(al>t[u].r||ar<t[u].l)return;
    update(l(u),al,ar,x);
    update(r(u),al,ar,x);
    pushup(u);
}
int main()
{
    int flag=0;
    int n,m;
    scan_d(n);
    scan_d(m);
    for(int i=1; i<=n; i++) scan_d(s[i]);
    build(1,1,n);
    int d,x,y;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);
        update(1,x,y,d);
        if(minn[1]<0&&!flag)
        {
            printf("-1\n");
            flag=i;
        }
    }
    printf("%d\n",flag);
    return 0;
}

[学习笔记]线段树

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