问题描述

一张 \(N\) 个点无向图，边权都为 \(1\) ，添加若干条边，最小化 \(\sum\limits_{1 \le i \le n,i \in N_{+}}{(a_i-b_i)^2}\)。 \(b_i\) 是输入的， \(a_i\) 是 \(1\) 号点到 \(i\) 号点的最短路。

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题解

添加边后， \(a_i\) 不会变小。

\(a_i\) 就是离散变量。

原来有边的两个点 \(x,y\) 的最短路长度差值不会超过 \(1\) 。

\(\mathrm{Code}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

//#define local
//#define file

int n,b[47],S,T;
char s[47][47];

int Head[2507],d[2507];
int to[500007],Next[500007],w[500007],tot=1;

void addedge(int x,int y,int z){
    to[++tot]=y,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot,w[tot]=z;
}

void add(int x,int y,int z){
    addedge(x,y,z);addedge(y,x,0);
}

void Init(void){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
}

int dis[2507],sum[2507];
bool vis[2507];
#define pii(x,y) make_pair(x,y)

void dijkstra(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    priority_queue < pair<int,int> > q;
    dis[1]=0;q.push(pii(0,1));
    while(!q.empty()){
        int x=q.top().second;q.pop();
        if(vis[x]) continue;
        vis[x]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(s[x][i]=='N') continue;
            if(dis[i]>dis[x]+1){
                dis[i]=dis[x]+1;
                q.push(pii(-dis[i],i));
            }
        }
    }
}

int id(int x,int y){
    return (x-1)*n+y;
}

void debug(void){
    for(int i=2;i<=tot;i+=2){
        printf("-- From %d to %d w = %d \n",to[i^1],to[i],w[i]);
    }
    printf("## S = %d , T = %d\n",S,T);
}

void Graph_build(void){
//  dijkstra();
//  for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+dis[i]+1;
    S=n*n+1,T=S+1;
    add(1,T,INF);//错误笔记：1号点最短路为零，为了防止S->1->T不能正常加边，但是1->T还是得加
    for(int i=2;i<=n;i++){
        add(S,id(i,1),INF);
        for(int j=1;j<n;j++){
            int price=(j-b[i])*(j-b[i]);
            add(id(i,j),id(i,j+1),price);
        }
        add(id(i,n),T,INF);
    }
    for(int x=1;x<=n;x++){
        for(int y=1;y<=n;y++){
            if(s[x][y]=='N') continue;
//          int lim=min(dis[x],dis[y]);
            for(int i=1;i<n;i++){
                add(id(x,i+1),id(y,i),INF);
            }
        }
    }
//  debug();
}

bool bfs(void){
    memset(d,0,sizeof(d));
    queue<int>q;q.push(S);d[S]=1;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=Head[x];i;i=Next[i]){
            int y=to[i];
            if(d[y]||!w[i]) continue;
            d[y]=d[x]+1;q.push(y);
            if(y==T) return true;
        }
    }
    return false;
}

int dfs(int x,int flow){
    if(x==T) return flow;
    int rest=flow;
    for(int i=Head[x];i;i=Next[i]){
        int y=to[i];
        if(d[y]!=d[x]+1||!w[i]) continue;
        int k=dfs(y,min(rest,w[i]));
        if(!k) d[y]=0;
        else w[i]-=k,w[i^1]+=k,rest-=k;
    }
    return flow-rest;
}

int Dinic(void){
    int res(0),t;
    while(bfs()){
        while(t=dfs(S,INF)) res+=t;
    }
    return res;
}

int Work(void){
    Graph_build();
    return Dinic();
}

#ifndef local
    class FoxAndCity{
        public:
            int minimalCost(vector<string>str,vector<int>in){
                n=str[0].size();
                for(int i=0;i<n;i++){
                    b[i+1]=in[i];
                    for(int j=0;j<n;j++){
                        s[i+1][j+1]=str[i][j];
                    }
                }
                return Work();
            }
    };
#endif

#ifdef local
    int main(){
        #ifdef file
            freopen("hzlbn.in","r",stdin);
        #endif
        Init();
        printf("%d\n",Work());
        return 0;
    }
#endif