统计监控数据

题意

输入一行浮点数，总个数是 19 的整数倍。把它们按每 19 个一组拆成若干样本，然后对 19 列特征分别计算 8 个统计量：mean、max、min、ptp（极差）、std（总体标准差）、var（总体方差）、skew（总体偏度）、kurt（总体超峰度）。

所有结果保留两位小数，按特征 0 到特征 18 的顺序输出，每个特征输出 8 个值，用空格分隔。

思路

这题本身不涉及算法设计，纯粹是统计公式的实现。唯一需要注意的是偏度和峰度的定义用的是总体公式，分母是 $n$ 而不是 $n-1$ 。

数据整理： 读入所有浮点数后，按 19 个一组划分成 $n$ 个样本。然后对第 $j$ 列，取出所有样本在该列的值组成数组 $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 。

基础统计量： mean、max、min 没什么好说的。ptp 就是 max $-$ min。总体方差 $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2$ ，标准差 $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ 。

偏度和峰度怎么算？ 先把每个值标准化： $z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{\sigma}$ ，然后：

$ $\text{skew} = \frac{1}{n}\sum z_i^3$ $

$ $\text{kurt} = \frac{1}{n}\sum z_i^4 - 3$ $

减 3 是因为正态分布的四阶矩为 3，减去之后得到的是"超峰度"。当 $\sigma = 0$ 时（所有值相同），偏度和峰度都定义为 0。

一个小细节： 样例里 3 个等差数据的 kurt 是 $-1.50$ 。用公式验证一下： $z$ 取 $\{-1, 0, 1\}$ （标准化后的值）， $z^4$ 之和为 2，平均为 $\frac{2}{3} \approx 0.667$ ，减 3 得 $-\frac{7}{3} \approx -2.33$ ……等等，这和 $-1.50$ 对不上？

别急，标准差是 $\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.8165$ ，原始数据比如 $\{0, 1, 2\}$ ，mean $= 1$ ， $z = \{-1/0.8165, 0, 1/0.8165\} = \{-1.2247, 0, 1.2247\}$ 。 $z^4 = 1.2247^4 = 2.25$ ，两个加起来 $4.5$ ，平均 $1.5$ ，减 3 就是 $-1.5$ 。没错，关键是 $z$ 不是 $\{-1, 0, 1\}$ ，因为标准差不是 1。

复杂度

时间： $O(n \times 19)$ ，对每列遍历所有样本
空间： $O(n \times 19)$ ，存储所有数据

代码

Python3
C++

import sys

def solve():
    data = list(map(float, sys.stdin.read().split()))
    n = len(data) // 19
    samples = []
    for i in range(n):
        samples.append(data[i * 19:(i + 1) * 19])

    results = []
    for col in range(19):
        vals = [samples[row][col] for row in range(n)]
        mean = sum(vals) / n
        mx = max(vals)
        mn = min(vals)
        ptp = mx - mn
        var = sum((x - mean) ** 2 for x in vals) / n
        std = var ** 0.5
        if std == 0:
            skew = 0.0
            kurt = 0.0
        else:
            skew = sum(((x - mean) / std) ** 3 for x in vals) / n
            kurt = sum(((x - mean) / std) ** 4 for x in vals) / n - 3
        results.extend([mean, mx, mn, ptp, std, var, skew, kurt])

    print(' '.join(f'{x:.2f}' for x in results))

solve()

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    vector<double> data;
    double x;
    while(cin >> x) data.push_back(x);
    int n = data.size() / 19;
    cout << fixed << setprecision(2);
    for(int col = 0; col < 19; col++){
        vector<double> vals(n);
        for(int i = 0; i < n; i++) vals[i] = data[i * 19 + col];
        double mean = 0, mx = vals[0], mn = vals[0];
        for(auto v : vals){ mean += v; mx = max(mx, v); mn = min(mn, v); }
        mean /= n;
        double ptp = mx - mn;
        double var = 0;
        for(auto v : vals) var += (v - mean) * (v - mean);
        var /= n;
        double std_ = sqrt(var);
        double skew = 0, kurt = 0;
        if(std_ != 0){
            for(auto v : vals){
                double z = (v - mean) / std_;
                skew += z * z * z;
                kurt += z * z * z * z;
            }
            skew /= n;
            kurt = kurt / n - 3;
        }
        double res[] = {mean, mx, mn, ptp, std_, var, skew, kurt};
        for(int i = 0; i < 8; i++){
            if(col > 0 || i > 0) cout << ' ';
            cout << res[i];
        }
    }
    cout << endl;
}