题解 | #简化Attention输出的元素总和#

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简化Attention输出的元素总和

题目描述

给定三个正整数 $n, m, h$ ，根据一系列规则构造并计算矩阵 $X, W_1, W_2, W_3, Q, K, V, S, Y$ 。最终任务是计算矩阵 $Y$ 所有元素的和，并四舍五入到最近的整数。

$X$ 是 $n \times m$ 的全1矩阵。
$W_1, W_2, W_3$ 是 $m \times h$ 的“上三角全1”矩阵。
$Q=X \cdot W_1, K=X \cdot W_2, V=X \cdot W_3$
$S=(Q \cdot K^T) / \sqrt{h}$
$Y=\text{softmax}(S) \cdot V$

解题思路

直接模拟矩阵运算是不可行的。本题的核心是利用矩阵的特殊结构进行数学推导和简化。

分析 $Q, K, V$
- $X$ 是一个所有元素为1的 $n \times m$ 矩阵。它的每一行都是一个长度为 $m$ 的全1向量。
- $W_1, W_2, W_3$ 是相同的 $m \times h$ 矩阵，我们称之为 $W$ 。 $W_{ij}=1$ 当且仅当 $i \le j$ 。
- $Q, K, V$ 的计算方式相同，所以 $Q=K=V$ 。我们以 $Q$ 为例。
- $Q$ 的第 $i$ 行是由 $X$ 的第 $i$ 行（全1向量）乘以 $W$ 得到的。
- $Q$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $Q_{ij}$ 等于 $X$ 的第 $i$ 行与 $W$ 的第 $j$ 列的点积。由于 $X$ 的行是全1的，这等价于 $W$ 的第 $j$ 列的元素之和。
- $W$ 的第 $j$ 列 ( $0$ -indexed) 中，值为1的元素是 $W_{0j}, W_{1j}, \dots, W_{kj}$ ，其中 $k=\min(j, m-1)$ 。因此，第 $j$ 列的和是 $\min(j+1, m)$ 。
- 所以， $Q, K, V$ 的每一行都是同一个向量 $\vec{v} = [\min(1,m), \min(2,m), \dots, \min(h,m)]$ 。
分析 $S$ 和 $\text{softmax}(S)$
- $S=(Q \cdot K^T) / \sqrt{h}$ 。由于 $Q=K$ 且 $Q$ 的每一行都是 $\vec{v}$ ， $K^T$ 的每一列都是 $\vec{v}^T$ 。
- $Q \cdot K^T$ 的任意元素 $(i,j)$ 都是 $\vec{v} \cdot \vec{v}$ 。这是一个常数。
- 因此， $S$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其所有元素都相等。
- $\text{softmax}$ 函数按行操作。对于一个所有元素都相等的行向量 $[c, c, \dots, c]$ （长度为 $n$ ）， $\text{softmax}$ 之后的结果是 $[\frac{e^c}{n \cdot e^c}, \dots, \frac{e^c}{n \cdot e^c}] = [1/n, 1/n, \dots, 1/n]$ 。
- 所以， $\text{softmax}(S)$ 是一个所有元素都为 $1/n$ 的 $n \times n$ 矩阵。
分析 $Y$
- $Y=\text{softmax}(S) \cdot V$ 。
- $Y$ 的任意元素 $Y_{ij}$ 等于 $\text{softmax}(S)$ 的第 $i$ 行与 $V$ 的第 $j$ 列的点积。
- $\text{softmax}(S)$ 的第 $i$ 行是 $[1/n, \dots, 1/n]$ 。
- $V$ 的第 $j$ 列的所有 $n$ 个元素都等于 $\vec{v}$ 的第 $j$ 个分量，即 $\min(j+1, m)$ 。
- 所以 $Y_{ij} = \sum_{k=0}^{n-1} (1/n) \cdot V_{kj} = (1/n) \cdot n \cdot V_{0j} = V_{0j} = \min(j+1, m)$ 。
- 这说明 $Y$ 的每一行都等于向量 $\vec{v}$ 。
计算总和
- 问题最终简化为计算矩阵 $Y$ 的所有元素之和。 $Y$ 是一个 $n \times h$ 矩阵，每一行都是 $\vec{v}$ 。
- 总和 = $n \cdot (\text{sum of elements in } \vec{v}) = n \cdot \sum_{j=1}^{h} \min(j, m)$ 。
- 我们分两种情况计算这个和：
  - Case 1: $h \le m$ : $\min(j, m) = j$ 。和为 $\sum_{j=1}^{h} j = \frac{h(h+1)}{2}$ 。总和为 $n \cdot \frac{h(h+1)}{2}$ 。
  - Case 2: $h > m$ : 和可以拆分为两部分： $\sum_{j=1}^{m} \min(j, m) + \sum_{j=m+1}^{h} \min(j, m) = \sum_{j=1}^{m} j + \sum_{j=m+1}^{h} m = \frac{m(m+1)}{2} + (h-m)m$ 。总和为 $n \cdot (\frac{m(m+1)}{2} + (h-m)m)$ 。

代码

c++
java
python

#include <iostream>
#include <numeric>
#include <cmath>

using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    ll n, m, h;
    cin >> n >> m >> h;

    double sum_one_row = 0;
    if (h <= m) {
        sum_one_row = (double)h * (h + 1) / 2.0;
    } else {
        sum_one_row = (double)m * (m + 1) / 2.0 + (double)(h - m) * m;
    }

    double total_sum = n * sum_one_row;
    
    cout << round(total_sum) << endl;

    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long n = sc.nextLong();
        long m = sc.nextLong();
        long h = sc.nextLong();

        double sumOneRow = 0;
        if (h <= m) {
            sumOneRow = (double)h * (h + 1) / 2.0;
        } else {
            sumOneRow = (double)m * (m + 1) / 2.0 + (double)(h - m) * m;
        }

        double totalSum = n * sumOneRow;
        
        System.out.println(Math.round(totalSum));
    }
}

import sys
import math

n, m, h = map(int, sys.stdin.readline().split())

sum_one_row = 0
if h <= m:
    sum_one_row = h * (h + 1) / 2
else:
    sum_one_row = m * (m + 1) / 2 + (h - m) * m

total_sum = n * sum_one_row

print(round(total_sum))

算法及复杂度

算法：数学推导与简化
时间复杂度： $\mathcal{O}(1)$ ，因为我们只进行了几次基本的算术运算。
空间复杂度： $\mathcal{O}(1)$ ，只需要常数空间存储输入的 $n, m, h$ 和中间结果。