二分类问题Sigmod

　　在 logistic 回归中，我们的训练集由  个已标记的样本构成： ，其中输入特征。（我们对符号的约定如下：特征向量  的维度为 ，其中  对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 。假设函数(hypothesis function) 如下：

<dl> <dd> </dd> </dl>

我们将训练模型参数 ，使其能够最小化代价函数 ：

<dl> <dd> </dd> </dl>

多分类问题

   在一个多分类问题中，因变量y有k个取值，即。例如在邮件分类问题中，我们要把邮件分为垃圾邮件、个人邮件、工作邮件3类，目标值y是一个有3个取值的离散值。这是一个多分类问题，二分类模型在这里不太适用。

　　主要应用就是多分类，sigmoid函数只能分两类，而softmax能分多类，softmax是sigmoid的扩展。

　　Logistic函数只能被使用在二分类问题中，但是它的多项式回归，即softmax函数，可以解决多分类问题。

　　在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标  可以取  个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）　

　　对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 。也就是说，我们想估计  的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个  维的向量（向量元素的和为1）来表示这  个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数  形式如下：

<dl> <dd> </dd> </dl>


　　其中  是模型的参数。请注意 这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。


　　为了方便起见，我们同样使用符号  来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将  用一个  的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将  按行罗列起来得到的，如下所示：

<dl> <dd> </dd> </dl>

代价函数

 值为假的表达式 。举例来说，表达式  的值为1 ，的值为 0。我们的代价函数为：

<dl> <dd> </dd> </dl>


值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

<dl> <dd> </dd> </dl>


可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 k 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 x 分类为类别  的概率为：

<dl> <dd> . </dd> </dl>


对于  的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：

<dl> <dd> </dd> </dl>


让我们来回顾一下符号 "" 的含义。 本身是一个向量，它的第  个元素  是 对 的第  个分量的偏导数。


有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: (）。

当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数  时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当  时，softmax 回归的假设函数为：

<dl> <dd> </dd> </dl>


利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 ，并且从两个参数向量中都减去向量 ，得到:

<dl> <dd> </dd> </dl>


因此，用 来表示，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 ，另一个类别概率的为 ，这与 logistic回归是一致的。

广义线性模型

linear，Logistic，Softmax 都是一个东西推导出来的。
这些分布之所以长成这个样子，是因为我们对y进行了假设。
当y是两点分布-------->linear model
当y是正态分布-------->Logistic model
当y是多项式分布-------->Softmax

http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归#Softmax.E5.9B.9E.E5.BD.92.E4.B8.8ELogistic_.E5.9B.9E.E5.BD.92.E7.9A.84.E5.85.B3.E7.B3.BB