小红的函数最大值

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思路

给定正整数 $a$ 和 $b$ （ $2 \leq a \leq 1000$ ， $1 \leq b \leq 1000$ ），求函数 $f(x) = \log_a x - bx$ 在定义域 $x > 0$ 上的最大值。

求导找驻点

对 $f(x)$ 求导：

$ $f'(x) = \frac{1}{x \ln a} - b$ $

令 $f'(x) = 0$ ，解得：

$ $x_0 = \frac{1}{b \ln a}$ $

由于 $a \geq 2$ ，所以 $\ln a > 0$ ，因此 $x_0 > 0$ ，确实在定义域内。

验证极大值

对 $f(x)$ 求二阶导数：

$ $f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln a}$ $

因为 $\ln a > 0$ ，所以 $f''(x) < 0$ 对所有 $x > 0$ 成立，说明 $f(x)$ 是上凸函数，驻点 $x_0$ 处取到全局最大值。

代入计算

将 $x_0 = \frac{1}{b \ln a}$ 代入原函数：

$ $f(x_0) = \log_a \frac{1}{b \ln a} - \frac{b}{b \ln a} = \frac{\ln \frac{1}{b \ln a}}{\ln a} - \frac{1}{\ln a}$ $

直接按公式计算即可。注意 $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ ，编程时使用自然对数 $\ln$ 进行换底。

样例演示

输入 $a = 2, b = 1$ ：

$\ln 2 \approx 0.6931$
$x_0 = \frac{1}{1 \times 0.6931} \approx 1.4427$
$f(x_0) = \frac{\ln 1.4427}{\ln 2} - 1 \times 1.4427 \approx 0.5283 - 1.4427 = -0.9139$

与预期输出 $-0.9139286679$ 一致。

复杂度分析

时间复杂度： $O(1)$ ，只需常数次浮点运算。
空间复杂度： $O(1)$ ，只用常数额外空间。

代码

C++
Java

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int a, b;
    scanf("%d %d", &a, &b);
    double lna = log((double)a);
    double x = 1.0 / (b * lna);
    double ans = log(x) / lna - b * x;
    printf("%.10f\n", ans);
    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int a = sc.nextInt();
        int b = sc.nextInt();
        double lna = Math.log(a);
        double x = 1.0 / (b * lna);
        double ans = Math.log(x) / lna - b * x;
        System.out.printf("%.10f%n", ans);
    }
}