小红的圆构造

[题目链接](https://www.nowcoder.com/practice/3309f6e285f04c74a8ee4804210224ca)

思路

给定一个坐标为 $(x, y)$ 的点（ $x, y > 0$ ），要构造一个同时与两条坐标轴相切且经过该点的圆，输出两个解的半径（升序）。

圆的性质

与两条坐标轴都相切的圆，其圆心到 $x$ 轴和 $y$ 轴的距离都等于半径 $r$ 。因此圆心坐标为 $(\pm r, \pm r)$ 。

由于点 $(x, y)$ 在第一象限（ $x, y > 0$ ），只有圆心在 $(r, r)$ 的情况才能使圆经过该点（其他象限的圆心会导致距离过大或无解）。

列方程

圆心 $(r, r)$ ，半径 $r$ ，经过点 $(x, y)$ ：

(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2

展开：

x^2 - 2xr + r^2 + y^2 - 2yr + r^2 = r^2

化简得到关于 $r$ 的一元二次方程：

r^2 - 2(x + y)r + (x^2 + y^2) = 0

求解

由求根公式：

r = \frac{2(x+y) \pm \sqrt{4(x+y)^2 - 4(x^2+y^2)}}{2} = (x+y) \pm \sqrt{2xy}

判别式 $\Delta = 4 \cdot 2xy = 8xy > 0$ （因为 $x, y > 0$ ），所以恰好有两个正实数解。

较小的半径为 $(x+y) - \sqrt{2xy}$ ，较大的为 $(x+y) + \sqrt{2xy}$ ，直接输出即可。

样例验证

输入 $(1, 2)$ ： $r = 3 \pm \sqrt{4} = 3 \pm 2$ ，即 $r_1 = 1$ ， $r_2 = 5$ ，与样例一致。

代码

C++
Java
Python3
JavaScript

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    double x, y;
    scanf("%lf%lf", &x, &y);
    double s = x + y;
    double d = sqrt(2.0 * x * y);
    printf("%.8f %.8f\n", s - d, s + d);
    return 0;
}

import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        double x = sc.nextDouble(), y = sc.nextDouble();
        double s = x + y;
        double d = Math.sqrt(2.0 * x * y);
        System.out.printf("%.8f %.8f%n", s - d, s + d);
    }
}

import math
x, y = map(int, input().split())
s = x + y
d = math.sqrt(2 * x * y)
print(f"{s - d:.8f} {s + d:.8f}")

const readline = require('readline');
const rl = readline.createInterface({ input: process.stdin });
rl.on('line', (line) => {
    const [x, y] = line.trim().split(/\s+/).map(Number);
    const s = x + y;
    const d = Math.sqrt(2 * x * y);
    console.log((s - d).toFixed(8) + ' ' + (s + d).toFixed(8));
    rl.close();
});

复杂度分析

时间复杂度： $O(1)$ ，只需一次加法和一次开方运算。
空间复杂度： $O(1)$ ，只使用常数个变量。