一、定义
如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
二、性质
重要性质：
gcd(a,b)=gcd(b,a) （交换律）
gcd(-a,b)=gcd(a,b)
gcd(a,a)=|a|
gcd(a,0)=|a|
gcd(a,1)=1
gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)
gcd(a,b)=gcd(b, a-b)
如果有附加的一个自然数m,
则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配律)
gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)
如果m是a和b的最大公约数，
则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m
在乘法函数中有：
gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)
两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：
* 两数各分解质因数，然后取出同样有的质因数乘起来
*辗转相除法（扩展版）
和最小公倍数（lcm）的关系：
gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab
a与b有最大公约数，
两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。
两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：
* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))
* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))
在坐标里，将点(0, 0)和(a, b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0, 0)一点之外）就是gcd(a, b)。
三、求法
1、辗转相除法(欧几里德算法)
两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。
设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数 的步骤如下：
(1)用a除以b(a≥b)，得 a /b = q...r1(0<=r1) 。
(2)若 r1 =0 ，则(a,b)=b ；
(3)若 r1 !=0 ，则再用b除以 r1，得 b /r1= q...r2 (0<r2).
(4)若 r2=0 ，则 (a,b)=r1 ；若 r2!=0 ，则继续用 r1 除以r2 ，......，如此下去，直到能整除为止。
其最后一个余数为0的除数即为(a,b)的最大公约数。
算法描述
用辗转相除法确定两个正整数 a 和 b(a≥b) 的最大公因数 gcd(a,b) ：
当 a mod b =0 时，gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) ；否则 gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) 递归或循环运算得出结果。
代码：
C++版本一
int gcd(int a,int b)
{ // 约数和倍数不包含0，则遇到0情况则直接排除
if(0==a||0==b)
return 0;
int t=a%b;
while(t)
{
a=b;
b=t;
t=a%b;
}
return b;
}
C++版本二
int Gcd(int m, int n) //辗转相除法，求最大公约数
{
return m == 0 ? n : Gcd(n % m, m);
}
int Lcm(int m, int n) //最小公倍数
{
return (m * n / Gcd(m, n));
}
C++版本三
ll GCD(ll a,ll b){while(b^=a^=b^=a%=b);return a;}
2、Stein算法
由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。
gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2
算法步骤
1、如果An=Bn,那么An(或Bn)*Cn是最大公约数,算法结束
2、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束
3、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束
4、设置A1=A、B1=B和C1=1
5、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
9、n加1，转1
代码：
int gcd(int a ,int b)
{
if(a < b)
{//arrange so that a>b
int temp = a;
a = b;
b=temp;
}
if(0 == b)//the base case
return a;
if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0)//a and b are even
return 2 * gcd(a / 2, b / 2);
if ( a % 2 == 0)// only a is even
return gcd(a / 2, b);
if ( b % 2 == 0 )// only b is even
return gcd(a, b / 2);
return gcd((a + b) / 2, (a -b ) / 2);// a and b are odd
}
3、分解质因数
四、例题
http://oj.acm.zstu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?cid=3703&pid=9（题解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/82899925）
五、参考文章
https://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6607707
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