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讲概率、论统计，肯定要从抛硬币说起啊，这才是正确打开姿势嘛。

1 什么是假设检验?

你说你的硬币是公平的，也就是”花”和”字”出现的概率是差不多的。
然后，你想和我打赌,作为一个资深的理智赌徒,我怎能听信你的一面之词,我提出要检查下你的
硬币到底是不是公平的，万一是两面“花”怎么办?电影里面不是经常出现这样的桥段?

你神色紧张，死活不让我检查,后来我们提出了折衷的方案，抛几次硬币，看看结果是不是公平的。

总共扔了十次，也都是"花” 朝上,那我就认为很可能你这枚硬币不是公平的。
这就是<mark>假设检验</mark>:

  • 你提出假设:说你的硬币是公平的
  • 我提出要检验你的假设:扔十次，看实验的结果是不是和你的假设相符

2 P值

为为完成假设检验,需要先定义一个概念: P值。 我们这里就来解释什么是P值?
根据上面的描述,这里假设检验的思路就是: .

  • 假设:硬币是公平的
  • 检验:认为假设是成立的，然后扔十次，看结果与假设是否相符
    反复扔硬币应该符合二项分布(这就不解释了)，也就是:



在我们认为硬币是公平的前提下，扔10次硬币应该符合以下分布：

下图表示的就是，假如硬币是公平的情况下的分布图：

我扔了十次之后得到的结果是，有八次正面：

这个时候有个数学大佬出来定义了一个称为P值（p-value)的概念：

把八次正面的概率，与更极端的九次正面、十次正面的概率加起来：


其实，出现两次正面、一次正面、零次正面的概率也是很极端的：

所以（双侧P值）：

2.1 为什么要把更极端的情况加起来？

根据扔硬币这个例子，可能你会觉得，我知道八次正面出现不正常就行了，干嘛要把九次、十次加起来?
我觉得有这么一个现实原因，比如我要扔1000次硬币来测试假设是否正确。
扔1000次硬币用二项份布来计算很麻烦,根据中心极限定理，我们知道，可以用正态分布来近似:

比如，我扔了1000次,得到了530次正面，脏态分布来计算就比较简单。
但是，对于正态分布,我没有办法算单点的概率(连续分布单点概率为0)，我只能取一 个区间来算极限，所以就取530、以及更极端的点组成的区间: .


我上面只取了单侧P值，说明下:

  • 取单侧还是双侧，取决于你的应用
  • 什么叫做更极端的点，也取决于你的应用

3 显著水平

总共扔10次硬币，那么是出现7次正面之后，可以认为”硬币是不公平的”，还是9次正面之后我才能确认”硬币是不公平的”，这是一个较为主观的标准。

我们一般认为:

就可以认为假设是不正确的。

0.05这个标准就是<mark>显著水平</mark>，当然选择多少作为显著水平也是主观的。

比如，上面的扔硬币的例子，如果取单侧P值，那么根据我们的计算，如果扔10次出现9次正面：

表示出来如下图所示：

我们可以认为刚开始的假设错的很“显著”，也就是“硬币是不公平的”。

如果扔10次出现出现8次正面：

呃，这个和我们的显著水平是一样的啊，我们也可以拒绝假设，只是没有那么“显著”了。

4 与置信区间的关系

知识要联系起来看，理解更深刻。

置信区间，目的是根据样本构造一个区间， 然后希望这个区间可以把真值包含进去,但是并不知道这个真值是多少?具体可以参考:https://vicky.blog.csdn.net/article/details/105131739

而假设检验,则是假设真值是多少,然后检验这个假设是否可能为真。

之所以觉得它们有关系,大概是因为它们都提到了0.05。

它们之间的关系也简单，如果我们提出来的假设μ0在样本灭的置信区间内,就可以通过测试: .

反之，就不能通过：