题解

题目难度：中等难度

知识点：动态规划、递归、动态数组

我们实现动态规划算法，常用的是2个实现套路，一个是自底向上，另外一个是自顶向下。无论是何种方式，我们都要明确动态规划的过程，把状态表示、状态转移、边界都考虑好。

方法（一）：自底向上

简单来说就是根据初始状态，逐步推导到最终状态，而这个转移的过程，必定是一个拓扑序。如何理解这个拓扑序问题呢，甲总监下面有X,Y,Z三个小组，甲总监不会一拿到X组最优秀的三个人，就立马去跟A经理汇报，而是要等到Y,Z小组也选出来之后，也就是自己下面所有子问题都解决了，才会继续向汇报。

自底向上一般用来解决什么问题呢？

那就是可以轻松确定拓扑序的问题，例如线性模型，都是从左往右进行转移，区间模型，一般都是从小区间推导到大区间。自底向上的一个经典实现是斐波那楔数列的递推实现，即F[i] = F[i - 1] + F[i -2]。

#include<iostream>
#include<vector>
#define Maxn 1000010
using namespace std;
int main()
{            
    int n, t, i;
    cin >> n;
    vector<int> dp(n + 1,Maxn);
    dp[0]=0;
    for(t = 1; t <= n; t++) {
        for(i = 1; i * i * i <=t; i++) {
            dp[t]  = min(dp[t], dp[t - i * i * i]+1);
        }
    }
    cout << dp[n] << endl;
    return 0;
}

方法（二）：自顶向下

从最终状态出发，如果遇到一个子问题还未求解，那么就先求解子问题。如果子问题已经求解，那么直接使用子问题的解，所以自顶向下动态规划又有一个形象生动的名字，叫做记忆化搜索，一般我们采用递归的方式进行求解。

自顶向下，我们一般用在树上面，因为我们根据父亲结点，很容易找到所有的子问题，也就是所有的子结点，而自底向上的话，我们要去统计这个结点的所有兄弟结点是否已经实现。会稍微复杂一点，而且比较难理解。

#include <iostream>
#include<vector>
#define Maxn 1000010
using namespace std;

int f( vector<int> &dp,int n) {
    if(n==0) return 0;
    else if(dp[n]!=Maxn) return dp[n];
    else {
        int i = 1;
        while (i * i * i <= n) {
            int r = n - (i * i * i);
            dp[n] = min(dp[n], 1 + f(dp,r));
            ++i;
        }
        return dp[n];
    }
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> dp(n + 1,Maxn);
    dp[0]=0;
    cout<<f(dp,n);
    return 0;
}

无论是自顶向下还是自底向上，都只是代码实现的一种套路，随便你采用哪一个，都是可以解的，只是看你的选择而已。动态规划，更多的还是要多练习，题目很多，但万变不离其宗，需要多多练习。