线性代数的本质 - 06逆矩阵、列空间与零空间

• 求解$A\vec{x}=\vec{v}A\backslash vec\{x\}=\backslash vec\{v\}$，意味着寻找一个$\vec{x}\backslash vec\{x\}$，使得它在变换后与$\vec{v}\backslash vec\{v\}$重合。解在于A的变换是将空间挤压到一条线或一个点的低维空间，还是完整的二维空间。即A的行列式为0，或不为0。
• 不为0时：有且只有一个向量与$\vec{v}\backslash vec\{v\}$重合，可以通过逆向进行变换并跟踪$\vec{v}\backslash vec\{v\}$的动向来找到这个向量。A的逆，即$A^{-1}A^\{-1\}$。什么都不做的变换，称为“恒等变换”。求解$\vec{x}\backslash vec\{x\}$：
  
• $det(A)\mathrm{\ne }0det(A)\backslash neq\; 0$ -> $A^{-1}A^\{-1\}$
• 为0时：变换将空间压缩到更低的维度上，此时没有逆变换，$det(A)=0det(A)=0$，解仍然可能存在：
  
• 当变换结果为一条直线时，结果是一维的，这个变换的秩为1；当变换后的向量落在一个二维平面上，这个变换的秩为2。秩代表着变换后空间的维数。
• 不管是一条直线、一个平面还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合，被称为矩阵的“列空间”。
• 矩阵的列为基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果。列空间就是矩阵的列所张成的空间，秩更精确的定义是列空间的维数。
• 零向量一定被包含在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变。对一个满秩变换来说唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身，但对一个非满秩矩阵来说，它将空间压缩至一个更低维度上，会有一系列向量在变换后成为零向量。
• 在变换后落在原点的向量集合，被称为矩阵的“零空间”或“核”，变换后一些向量落在零向量上，“零空间”就是这些向量所构成的空间。
• 对线性方程组来说，当向量$\vec{v}\backslash vec\{v\}$恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程的所有可能解。

补充说明 - 非方阵

• 3x2矩阵的几何意义是将二维空间映射到三维空间上
  

因为矩阵由两列表明输入空间有两个基向量，有三行表明每一个基向量在变换后都用三个独立的坐标来表示

• 2x3矩阵的几何意义是将三维空间映射到二维空间上
  

• 二维空间到一维空间的变换