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全部文章 / 数学（共12篇）

线性代数的本质 - 12克莱姆法则、几何解释

05 行列式、07 点积与对偶性、06 逆矩阵、列空间与零空间高斯消元比克莱姆计算得更快 det（A）=0det（A）= 0det（A）=0降维，要么存在无数解要么没有解 det（A）≠0det（A）\neq 0det（A）=0维数依然相同，一个输入对应一个输出，一个输出也对应一个输入对大多...

2021-11-04

0 594

线性代数的本质 - 11抽象向量空间

行列式和特征向量与所选坐标系无关，行列式告诉的是一个变换对面积的缩放比例，特征向量则是在变换中留在它所张成的空间中的向量，这二者都是暗含于空间中的性质，自由选取坐标系不会改变它们最根本的值既不是一个箭头也不是一组数字，但是同样具有向量特性的东西：函数函数的线性变换有一个完全合理的解释：这个变换...

2021-11-04

0 445

线性代数的本质 - 10特征向量与特征值

考虑一个线性变换意味着矩阵对它的作用仅仅是拉伸或者压缩而已，如同一个标量，这些特殊向量被称为变换的“特征向量”，每个特征向量都有一个所属的值，被称为“特征值” 三维旋转中特征值为1时，相当于找到了一个旋转轴计算特征值和特征向量：寻找一个向量V，使得这个新矩阵与V相乘结果为零向量06 逆矩...

2021-11-04

0 590

线性代数的本质 - 09基变换

发生在向量与一组数之间的任意一种转化，都被称为一个坐标系 03 矩阵与线性变换将矩阵乘法理解为应用一个特定的线性变换变换后的向量仍旧是相同的线性组合，不过使用的是新的基向量坐标系之间的转换：

2021-11-04

0 513

线性代数的本质 - 08叉积的标准介绍、以线性变换的眼光看叉积

叉积的标准介绍顺序对叉积有影响，v⃗\vec{v}v在w⃗\vec{w}w的右边，那么叉乘为正 v⃗\vec{v}v在w⃗\vec{w}w的左边，那么叉乘为负 05行列式计算叉积：以线性变换的眼光看叉积真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量，这个叉积的结果是一个向量，...

2021-11-04

0 511

线性代数的本质 - 07点积与对偶性

点积的标准观点：两个相同维数的向量，或两个相同长度的数组，求他们的点积，就是将相应坐标配对，求出每一对的乘积，然后将结果相加点积与顺序无关对偶性多维空间到一维空间（数轴）的线性变换单位向量的点积可以看成将向量投影到单位向量所在直线上所得到的投影值非单位向量：投影后缩放总言之即，向量...

2021-11-04

0 601

线性代数的本质 - 06逆矩阵、列空间与零空间

求解Ax⃗=v⃗A\vec{x}=\vec{v}Ax=v，意味着寻找一个x⃗\vec{x}x，使得它在变换后与v⃗\vec{v}v重合。解在于A的变换是将空间挤压到一条线或一个点的低维空间，还是完整的二维空间。即A的行列式为0，或不为0。不为0时：有且只有一个向量与v⃗\vec{v}v重合，可以通...

2021-10-06

0 837

线性代数的本质 - 05行列式

只要知道单位正方形面积变化的比例，就能知道其他任意区域的面积变化比例。由网格线保持平行且等距分布推出，无论一个方格如何变化，对其他大小的方格来说，都会有相同变化。这个缩放比例，即线性变换对面积产生改变的比例，被称为这个变换的行列式。当空间取向被反转时，行列式为负值，绝对值依然是区域面积的缩放比例...

2021-10-06

0 493

线性代数的本质 - 04矩阵乘法与线性变换复合

一个变换之后再进行另一个变换，这个新的线性变换被称为前两个独立变换的“复合变换”。eg：先旋转再剪切：通常将函数写在变量的左侧，所以函数复合时从右向左读: 矩阵乘法满足结合律，交换律不满足

2021-10-06

0 473

线性代数的本质 - 03矩阵与线性变换

变换是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系，一种理解“向量的函数”的方法是使用运动。线性代数限制在一种特殊类型的变换上，“线性变换”：一是直线在变换之后仍然保持为直线，不能有所弯曲；二是原点必须保持固定。总的来说，保持网格线平行并等距分布。一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，2X2矩阵，...

2021-10-06

0 605