错排问题

简单来说，错排问题就是问有多少个长度为 $n$ 的排列 $p$ ，使得对于所有的 $i\in [1,n]$ 都有 $i \neq p_i$ 。

递推式

错排的一个递推式就是 $f(n)=n(f(n-1)+f(n-2))$

这个递推式复杂度显然是线性的。

关于这个递推式的推导请自行百度。这里不再赘述。

第一次看到错排问题的时候，并没有推导出上面的递推式。而是用了一种容斥的方法。自认为更加简单易懂吧。

既然是每个数字都不能放在对应的位置。那么按照容斥的一般套路，我们强制有 $i$ 个数字放在了对应位置。其他数字不管他。显然这 $i$ 个数字有 $C(_n^i)$ 种方案。其他数字有 $(n-i)!$ 种排列方式。

所以式子就很显然了:

$f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^iC(_n^i)(n-i)! \\ =\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\frac{n!}{i!}$

复杂度同样也是线性的。

其实可以发现，用容斥继续推下去的话，依然可以推出上面的递推式。所以这两种解法本质上是等价的。