多边形的表示

  • 顶点表示。只要得到顶点再连线即可。如果是凸多边形由点集极角排序即可，其他情况不太了解
  • 点阵表示。需要判断哪些属于内部点

本文主要讨论点阵表示

其实主要是PPT的copy，但是复制一遍确实印象深刻一点🐕

1.逐点判断法

即一个个点判断是不是属于图形内部，主要方法是射线法。

从待判断点发出射线，设与多边形交点个数为\(k\)

  • \(k\)与多边形边的交点若为奇数，在内部；若为偶数，则该点在外部

  • 特殊情况：

    • 该点在边上，要先特判该点是不是边上一点
    • 射线在边上，会有无数个点，要特断射线是否与边同线
    • 交点为顶点，如果异测是1个，同侧算0个或2个

判断点的实现代码(ACM)：https://www.cnblogs.com/muyefeiwu/p/11260366.html

这个算法的特点是复杂度高

改进：利用内部点的连续性

2.扫描线算法

基本思路

  • 扫描线一般取平行于\(X\)轴的直线，区间是指扫描线与边的交点
  • 将扫描线与边的交点按\(x\)坐标从小到大排序
  • 交点两两配对(交点个数为偶数),填充区间

连贯性

（1）边的连贯性(Edge Coherence)—优化交点计算

  • 某条边与当前扫描线相交，也可能与下一条扫描线相交

  • 如\(L_1\)与边AE和AB相交，下条扫描线\(L_2\)也与边AE和AB相交。

（2）扫描线的连贯性(Scan-line Coherence) )—优化交点排序

  • 当前扫描线与各边的交点顺序与 下一条扫描线与各边的交点 顺序可能相同或类似

  • 如点1,2的次序与点3,4的次序

（3）区间的连贯性(Span Coherence)

  • 同一区间上的像素取同一颜色属性

  • 如点3和点4之间的线段

交点计算

由扫描线\(y＝e\)与多边形的交点递推计算扫描线 \(y＝e＋1\)的交点

  • 第一类交点：位于同一条边上的后继交点—如\(I_0,I_2,I_4\) : $x’＝x＋\frac{1}{m} $

  • 第二类交点：边与扫描线的第一个交点—如\(I_3 , I_1\) : 就是边的下端点

  • 水平边不参与计算交点

算法数据结构

一、边的分类表\(ET\)(Edge Table)

  • 按照边的下端点，对非水平边进行分类的链表
  • 下端点\(y\)坐标值等于\(i\)的边属于第i类，同类中有多条边时按\(x\)从小到大排序（\(x\)也一样时按边上端点的\(x\)值） 
struct ET{
    int ymax;     //边的上端点的y坐标值
    float x;      //边的下端点的x坐标
    float deltax; //边的斜率的倒数
    ET *nextEdge; //下一条边的指针
}edga[N];		  //每条扫描线对应一条链表

其中edga[0],edga[2],edga[3],edga[6],edga[8]因为没有与边的下端点相交，所以为空

数据结构对应相关方法：

  • deltax：用于递推计算交点$x’＝x＋\frac{1}{m} $
  • ymax: 当扫描线 y = e + 1 == ymax，说明下 一条扫描线与此边不相交。

二、活性边表\(AEL\)(Active Edge List)

  • 结构定义与\(ET\)表是一样的

  • x的含义不一样：当前扫描线与边的交点的\(x\)坐标

  • 作用：存储与当前扫描线的交点，同时快速计算下一条扫描线与多边形相交的点，且可判断边是否与下一条扫描线相交

  • 实例

在\(Y=7\)的时候\(ET\)表不为空，所以就将\(ET\)表中的边插入到\(AEL\)表中

算法过程

  • 先建立\(ET\)表，扫描线从下往上扫，即设置一个指针\(p\)，从\(y_{min}\)开始
  • 如果此时的\(ET\)表不为空，就将表中元素取出插入到\(AEL\)中，插入排序
  • \(AEL\)表中的元素两两配对，获得填充区段，再填充
  • p++
  • 将\(AEL\)中满足\(y = y_{max}\)边删去 因为每条边被看作下闭上开的
  • 对\(AEL\)中剩下的每一条边的\(x\)递增\(deltax\)，即\(x = x+deltax\)
  • 直到\(ET\)表和\(AEL\)表都为空，算法结束