0-1背包问题

         题目： 给定物品的重量weights=[1, 2, 5, 6, 7] ，对应的价值values=[1, 6, 18, 22, 28] ， 背包能装的最大重量为capicity=11。问：我们用这个背包装什么物品能获得最大价值？  注意：每件物品只有一件。并且最终重量不能超过背包所能承载的重量。

  分析：

           首先，说明一下，本题采用动态规划， 因为问题的本身含最优子结构。 我们先给出转态转移方程：

               

            c(i, w)  表示包容量为w时，考虑前i个物品所能获得的最大价值。。 i表示第i个物品，w表示包容量

            第一种情况： 当前物品的重量超过了包的承载量，显然装不上，那它当前的最大价值就是原有包中的价值（不装这个物品时的最大价值）。

            第二种情况：当前物品的重量没有包承载量大。则说明当前这个物品可以装进去。 那我们就得考虑了： 装这个物品价值大还是不装这个物品价值大？  从两种情况中选最大的。

capicity 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
weight value 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 6 0 1 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7
5 18 0 1 6 7 7 18 19 24 25 25 25 25
6 22 0 1 6 7 7 18 22 24 28 29 29 40
7 28 0 1 6 7 7 18 22 28 29 34 35 40

上述就是本题手工计算得出的矩阵。  右下角的40, 就是我们所能获得的最大价值

接着，我们还需要输出获得最大价值的时候，我们拿了什么物品

         从右下角的40开始， 背包容量为11，由于40 与上一行的40相等， 说明我们没有装第五个物品（因为当背包容量为11，装第四个物品的时候，价值已经到达了40）。 紧接着， 在背包容量为11时，对应第三个物品，最大价值是25， 所以，我们装了第四个物品。  此时，我们的背包容量变为W-w4  即：11-6=5。  所以，对于第三个物品，我们直接考虑在背包容量为5的时候， 可以看出价值是18，考虑有没有装第三个？ 因为背包容量为5时，第二个物品所对应的最大价值为7. 所以我们装了第三个物品。  接在：W剩 - w3 = 5-5 = 0 。  我们就可以得出背包中装了第三个和第四个物品。

代码实现：

#  01 背包问题
def bag_01(weights, values, capicity):

    # [*, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *]
    # [*, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *]
    # [*, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *]
    # [*, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *]
    # [*, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *]
    # [*, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *, *]
    n = len(values)
    f = [[0 for j in range(capicity+1)] for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, capicity+1):
            f[i][j] = f[i-1][j]
            if j >= weights[i-1] and f[i][j] < f[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]:
                f[i][j] = f[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]
    return f

def show(capicity, weights, f):
    n = len(weights)
    print("最大价值:", f[n][capicity])
    x = [False for i in range(n)]
    j = capicity
    for i in range(n, 0, -1):
        if f[i][j] > f[i-1][j]:
            x[i-1] = True
            j -= weights[i-1]
    print("背包中所装物品为:")
    for i in range(n):
        if x[i]:
            print("第{}个".format(i+1))


if __name__ == '__main__':
    # weights 指的是物品的重量
    # values 指的是物品的价值
    # capicity 指的是袋子能装的重量
    n = 5
    weights = [1, 2, 5, 6, 7]
    values = [1, 6, 18, 22, 28]
    capicity = 11
    m = bag_01(weights, values, capicity)
    # 打印矩阵
    for i in range(len(m)):
        print(m[i])

    # 接下来输出要装的物品
    show(capicity, weights, m)

输出结果：