假设把所有香肠接在一起想象成一根大香肠 总长度为 \(A\)

那不难想到，需要切\(m-1\)刀，则每隔\(\frac{A}{m}\)要切一刀，设\(y=\frac{A}{m}\)

设原来一根香肠长度为\(x\)，\(x=\frac{A}{n}\)，\(x\)的倍数不用切，不能算在答案里

所以现在问题变成\(m-1\)减去 \(x\)的倍数和\(y\)的倍数重合的个数

\(1\)到\(A\)的正整数中，有多少数既是 \(x\) 的倍数，也是\(y\)的倍数.

很明显是\(A\)除以\(x\)和\(y\)的最大公倍数

下面是数学处理，根据定理：最大公倍数等于：

\[\frac{x*y}{gcd(x,y)} \]

其中 \(gcd(x,y)\)是\(x\)和\(y\)最大公因子

代入\(x\)和\(y\)的值

\[\frac{\frac{A^2}{n*m}}{gcd(\frac{A}{n},\frac{A}{m})} \]

上下同乘以\(\frac{n*m}{A}\)

\[\frac {A}{gcd(n,m)} \]

再用\(A\)除以最大公倍数

就是\(gcd(n,m)\)

结果就是\(m-1-gcd(n,m)\)

但是\(A\)也是\(x\)和\(y\)的倍数，最后一个位置\(A\)是不需要切的，所以上式子减多了一个，加上\(1\)

结果：

\[m-gcd(n,m) \]