一、基本概念
回文字符串：是一个正读和反读都一样的字符串。
二、问题与算法
（1）判断
思想：
1、初始化标志flag=true；
2、输入字符串str，并获取其长度len；
3、定义并初始化游标i=0，j=len-1，分别指向字符串开头和末尾；
4、比较字符str[i]和str[j],若i==j，转至7，否则往下执行5；
5、若str[i]和str[j]相等，则游标i加1，游标j减1后转至4，否则往下执行6；
6、令标志位flag=flase，结束比较，str不是回文串，算法结束。
7、若str[i]和str[j]相等，结束比较，flag=true,str为回文串，算法结束。
C++版本一
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
char a[100]= {0};
int i = 0;
int len = 0;
gets(a);
len = strlen(a); //计算输入字符串的长度；
for(i = 0; i < (len / 2); i++) //只需要判断前一半（len/2）长度就好了
{
if(a[i] != a[len - 1 - i]) //判断是否为回文数；
{
printf("不是回文数\n");
return 0;
}
}
printf("是回文数\n");
return 0;
}
（2）最长回文子串(Longest_Palindromic_Substring)
1、朴素
思想：
1）从最长的子串开始，遍历所有该原字符串的子串；
2）每找出一个字符串，就判断该字符串是否为回文；
3）子串为回文时，则找到了最长的回文子串，因此结束；反之，则继续遍历。
C++版本一
/*
* 判断str[i...j]是否是回文串
*/
bool isPalindrome(const char *str, int begin, int end)
{
while (begin <= end)
{
if (str[begin] == str[end])
{
begin++;
end--;
}
else
return false;
}
return true;
}
/*
*返回字符串str的最长回文子串的长度
*/
int longestPalindrome(const char *str)
{
if (str == NULL)
return 0;
int len = strlen(str);
if (len == 1)
return 1;
int longest = 1;
for (int i = 0; i < len; i++)
for (int j = i + 1; j < len; j++)
if (isPalindrome(str, i, j) == true)
longest = longest < j - i + 1 ? j - i + 1 : longest;
return longest;
} JAVA版本一
public static String longestPalindrome(String s) {
if(s.length() <= 1)
return s;
for(int i = s.length();i > 0; i--) {//子串长度
for (int j = 0; j <= s.length() - i; j++) {
String sub = s.substring(j , i + j);//子串位置
int count = 0;//计数，用来判断是否对称
for (int k = 0; k < sub.length() / 2; k++) {//左右对称判断
if (sub.charAt(k) == sub.charAt(sub.length() - k - 1))
count++;
}
if (count == sub.length() / 2)
return sub;
}
}
return "";//表示字符串中无回文子串
}
2、中心扩散
思想：
1）将子串分为单核和双核的情况，单核即指子串长度为奇数，双核则为偶数；
2）遍历每个除最后一个位置的字符index(字符位置)，单核：初始low = 初始high = index，low和high均不超过原字符串的下限和上限；判断low和high处的字符是否相等，相等则low++、high++（双核：初始high = 初始low+1 = index + 1）；
3）每次low与high处的字符相等时，都将当前最长的回文子串长度与high-low+1比较。后者大时，将最长的回文子串改为low与high之间的；
4）重复执行2）、3），直至high-low+1 等于原字符串长度或者遍历到最后一个字符，取当前截取到的回文子串，该子串即为最长的回文子串。
C++版本一
string longestPalindrome(string s)
{
if(s.empty()) return "";
if(s.size()==1) return s;
int start=0,maxlength=1;//记录最大回文子串的起始位置以及长度
for(int i=0;i<s.size();i++)
for(int j=i+1;j<s.size();j++)//从当前位置的下一个开始算
{
int temp1,temp2;
for(temp1=i,temp2=j;temp1<temp2;temp1++,temp2--)
{
if(s[temp1]!=s[temp2])
break;
}
if(temp1>=temp2 && j-i+1>maxlength)//这里要注意条件为temp1>=temp2，因为如果是偶数个字符，相邻的两个经上一步会出现大于的情况
{
maxlength = j-i+1;
start=i;
}
}
return s.substr(start,maxlength);//利用string中的substr函数来返回相应的子串,第一个参数是起始位置，第二个参数是字符个数
} JAVA版本一
private static int maxLen = 0;
private static String sub = "";
public static String longestPalindrome(String s) {
if(s.length() <= 1)
return s;
for(int i = 0;i < s.length()-1;i++){
findLongestPalindrome(s,i,i);//单核回文
findLongestPalindrome(s,i,i+1);//双核回文
}
return sub;
}
public static void findLongestPalindrome(String s,int low,int high){
while (low >= 0 && high <= s.length()-1){
if(s.charAt(low) == s.charAt(high)){
if(high - low + 1 > maxLen){
maxLen = high - low + 1;
sub = s.substring(low , high+1);
}
low --;//向两边扩散找当前字符为中心的最大回文子串
high ++;
}
else
break;
}
}
3、动态规划
思想：
对于字符串str，假设dp[i,j]=1表示str[i...j]是回文子串，那个必定存在dp[i+1,j-1]=1。这样最长回文子串就能分解成一系列子问题，可以利用动态规划求解了。
首先构造状态转移方程
上面的状态转移方程表示，当str[i]=str[j]时，如果str[i+1...j-1]是回文串，则str[i...j]也是回文串；如果str[i+1...j-1]不是回文串，则str[i...j]不是回文串。
初始状态
dp[i][i]=1
dp[i][i+1]=1 if str[i]==str[i+1]
上式的意义是单个字符，两个相同字符都是回文串。
C++版本一
int dp[1005][1005];
string longestPalindrome(string& s) {
// Write your code here
O(n^2)
int len = s.size();
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i=0; i<len; ++i)
dp[i][1] = 1;
int ld=0, rd=0, maxL = 1;
for(int k=2; k<=len; ++k){
for(int i=0, j; i<len && (j=i+k-1)<len; ++i){
if(s[i] == s[j] && dp[i+1][k-2] == k-2)
dp[i][k] = dp[i+1][k-2] + 2;
else
dp[i][k] = max(dp[i+1][k-1], dp[i][k-1]);
if(maxL<dp[i][k]){
maxL = dp[i][k];
ld = i;
rd = j;
}
}
}
return s.substr(ld, rd-ld+1);
} C++版本二
/*
*返回字符串str的最长回文子串的长度
*/
int longestPalindrome(const char *str)
{
if (str == NULL) return 0;
int len = strlen(str);
if (len == 1)return 1;
int longest = 1;
int dp[100][100];
for (int i = 0; i < len; i++)
{
dp[i][i] = 1;
if (str[i] == str[i + 1])
dp[i][i + 1] = 1;
}
for (int i = 0; i < len; i++)
{
for (int j = i + 2; j <= len; j++)
{
if (str[i] == str[j])
{
dp[i][j] = dp[i][j - 1];
if (dp[i][j] == 1)
{
int tmp = j - i + 1;
if (longest < tmp)longest = tmp;
}
}
else dp[i][j] = 0;
}
}
return longest;
}
动态规划 JAVA版本一
package com.ysw.test;
import java.util.Scanner;
/*
* 问题描述：
* 给定一个字符串S，找出它的最大的回文子串，你可以假设字符串的最大长度是1000，
* 而且存在唯一的最长回文子串 。
*/
public class LongestPalindrome {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// 从键盘读入字符串
String str = null;
Scanner reader = new Scanner(System.in);
str = reader.nextLine();
System.out.println(getLongestPalindrome(str));
}
/**
* 此方法返回s的最长回文串
*
* @param str
* @return
*/
private static String getLongestPalindrome(String str) {
boolean dp[][];
// 如果字符串的长度为0，则认为str的最长回文串为空字符串
if (str.length() == 0) {
return "";
}
// 字符串str长度为1.则字符串本身就是一个最长回文串
if (str.length() == 1) {
return str;
}
// dp[i][j],表示字符串str从str[i]到str[j]的子串为最长回文子串
dp = new boolean[str.length()][str.length()];
// 记录已经找到的最长回文子串的长度
int maxLen = 1;
// 记录最长回文子串的起点位置和终点位置
int start = 0, end = 0;
// 动态规划的进行是按照字符串的长度从1 到 n推进的，k表示正在判断的子串的长度
// 用于和已知的子串的长度maxLen进行比较
int k;
// 找出str的所有子串的dp对应的boolean值,初始化过程
for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
for (int j = 0; j < str.length(); j++) {
// 当i==j的时候，只有一个字符的字符串
// 当i>j的时候认为是空串，dp[i][j]
if (i >= j) {
dp[i][j] = true;
} else {
dp[i][j] = false;
}
}
}
// 我在这里犯了一个幼稚的错误，把i、j的定义放在了for循环中，在else{}中是访问不到的
// 运行程序报java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: String index out of
// range错误
int i, j;
for (k = 1; k < str.length(); k++) {
for (i = 0; i + k < str.length(); i++) {
j = i + k;
if (str.charAt(i) != str.charAt(j)) {
dp[i][j] = false;
} else {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
if (dp[i][j]) {
// 判断找到的子串的长度是否大于我们已知的最长子串的长度
if (k + 1 > maxLen) {
// 记录最长回文子串
maxLen = k + 1;
// 记录子串的起始位置，因为后面的函数subString(int beginIndex,int
// endIndex)函数要用到
start = i;
end = j;
}
}
}
}
}
return str.substring(start, end + 1);
}
} 4、Manacher's Algorithm(马拉车算法)
思想：
一）第一步是改造字符串S，变为T，其改造的方法如下：
在字符串S的字符之间和S的首尾都插入一个“#”，如：S=“abba”变为T="#a#b#b#a#" 。我们会发现S的长度是4，而T的长度为9，长度变为奇数了！！那S的长度为奇数的情况时，变化后的长度还是奇数吗？我们举个例子，S=“abcba”，变化为T=“#a#b#c#b#a#”，T的长度为11，所以我们发现其改造的目的是将字符串的长度变为奇数，这样就可以统一的处理奇偶的情况了。
二）第二步，为了改进回文相互重叠的情况，我们将改造完后的T[ i ] 处的回文半径存储到数组P[ ]中，P[ i ]为新字符串T的T[ i ]处的回文半径，表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最端右字符到T[i]的长度，如以T[ i ]为中心的最长回文子串的为T[ l, r ]，那么P[ i ]=r-i+1。这样最后遍历数组P[ ]，取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i ]本身。举一个简单的例子感受一下：
数组P有一性质，P[ i ]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度 ，那就是P[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度，至于证明，首先在转换得到的字符串T中，所有的回文字串的长度都为奇数，那么对于以T[i]为中心的最长回文字串，其长度就为2*P[i]-1,经过观察可知，T中所有的回文子串，其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1，也就是有P[i]个分隔符，剩下P[i]-1个字符来自原字符串，所以该回文串在原字符串中的长度就为P[i]-1。【这段解释引用 dyx心心】
另外，由于第一个和最后一个字符都是#号，且也需要搜索回文，为了防止越界，我们还需要在首尾再加上非#号字符，实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符，结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0'，等于默认加过了。这样原问题就转化成如何求数组P[ ]的问题了。
三）如何求数组P [ ]
从左往右计算数组P[ ]， Mi为之前取得最大回文串的中心位置，而R是最大回文串能到达的最右端的值。
1）当 i <=R时，如何计算 P[ i ]的值了？毫无疑问的是数组P中点 i 之前点对应的值都已经计算出来了。利用回文串的特性，我们找到点 i 关于 Mi 的对称点 j ，其值为 j= 2*Mi-i 。因，点 j 、i 在以Mi 为中心的最大回文串的范围内（[L ,R]），
a）那么如果P[j] <R-i （同样是L和j 之间的距离），说明，以点 j 为中心的回文串没有超出范围[L ,R]，由回文串的特性可知，从左右两端向Mi遍历，两端对应的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ]（这里得先从点j转到点i 的情况），如下图：
b)如果P[ j ]>=R-i （即 j 为中心的回文串的最左端超过 L），如下图所示。即，以点 j为中心的最大回文串的范围已经超出了范围[L ,R] ，这种情况，等式P[ j ]=P[ i ]还成立吗？显然不总是成立的！因，以点 j 为中心的回文串的最左端超过L，那么在[ L, j ]之间的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的，由回文串的特性可知，P[ i ] 至少等于R- i，至于是否大于R-i（图中红色的部分），我们还要从R+1开始一一的匹配，直达失配为止，从而更新R和对应的Mi以及P[ i ]。
2）当 i > R时，如下图。这种情况，没法利用到回文串的特性，只能老老实实的一步步去匹配。
C++版本一
string Manacher(string s)
{
/*改造字符串*/
string res="$#";
for(int i=0;i<s.size();++i)
{
res+=s[i];
res+="#";
}
/*数组*/
vector<int> P(res.size(),0);
int mi=0,right=0; //mi为最大回文串对应的中心点，right为该回文串能达到的最右端的值
int maxLen=0,maxPoint=0; //maxLen为最大回文串的长度，maxPoint为记录中心点
for(int i=1;i<res.size();++i)
{
P[i]=right>i ?min(P[2*mi-i],right-i):1; //关键句，文中对这句以详细讲解
while(res[i+P[i]]==res[i-P[i]])
++P[i];
if(right<i+P[i]) //超过之前的最右端，则改变中心点和对应的最右端
{
right=i+P[i];
mi=i;
}
if(maxLen<P[i]) //更新最大回文串的长度，并记下此时的点
{
maxLen=P[i];
maxPoint=i;
}
}
return s.substr((maxPoint-maxLen)/2,maxLen-1);
} JAVA版本一
public String longestPalindrome(String s) {
List<Character> s_new = new ArrayList<>();
for(int i = 0;i < s.length();i++){
s_new.add('#');
s_new.add(s.charAt(i));
}
s_new.add('#');
List<Integer> Len = new ArrayList<>();
String sub = "";//最长回文子串
int sub_midd = 0;//表示在i之前所得到的Len数组中的最大值所在位置
int sub_side = 0;//表示以sub_midd为中心的最长回文子串的最右端在S_new中的位置
Len.add(1);
for(int i = 1;i < s_new.size();i++){
if(i < sub_side) {//i < sub_side时，在Len[j]和sub_side - i中取最小值，省去了j的判断
int j = 2 * sub_midd - i;
if(j >= 2 * sub_midd - sub_side && Len.get(j) <= sub_side - i){
Len.add(Len.get(j));
}
else
Len.add(sub_side - i + 1);
}
else//i >= sub_side时，从头开始匹配
Len.add(1);
while( (i - Len.get(i) >= 0 && i + Len.get(i) < s_new.size()) && (s_new.get(i - Len.get(i)) == s_new.get(i + Len.get(i))))
Len.set(i,Len.get(i) + 1);//s_new[i]两端开始扩展匹配，直到匹配失败时停止
if(Len.get(i) >= Len.get(sub_midd)){//匹配的新回文子串长度大于原有的长度
sub_side = Len.get(i) + i - 1;
sub_midd = i;
}
}
sub = s.substring((2*sub_midd - sub_side)/2,sub_side /2);//在s中找到最长回文子串的位置
return sub;
}
三、例题
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=4110（题解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/89645047）
四、参考文章
https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%9E%E6%96%87%E4%B8%B2/1274921?fr=aladdin
https://blog.csdn.net/it_liy/article/details/78680786
https://blog.csdn.net/qq_32354501/article/details/80084325
https://www.cnblogs.com/love-yh/p/7072161.html
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