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学习笔记「数学」导数入门学习笔记（真的入门）

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「数学」导数入门学习笔记（真的入门）

909 浏览 0 回复 2020-02-28

Shq_qwq

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阅读提示：

请务必自备打草纸 / 笔

导数是啥啊 ?

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处导数就是 $f(x)$ 在 $x$ 处的瞬时变化率

瞬时变化率 是啥啊 /kel

现在先来看一个栗子：

Sample - 1

一辆汽车在大路上行驶（

画出来它的 $S-t$ 图像：

（数据都是乱编的（画图略丑

上面的每一个点 $(x,y)$ 表示在 $x\ \text{s}$ 时走过的路程为 $y\text{ m}$

画出来其速度（

*在同一个图上画是不对的（，这里只是为了直观(?)

直觉上，车在某一时候行驶的速度是可以知道的（，就是在汽车仪表盘上面显示的那个数字（

直觉又告诉我们，速度越大， $s(x)$ 也就越陡峭

不过说 一个瞬间的速度 有啥意义啊

比如对于一个汽车照片，你无法判断这个车走的多快吧（

但是如果有两个时间点，我们就可以很简单地算出来了（

速度就是单位时间内物体运动的距离（

但是为什么速度函数 $v(x)$ 只需要一个时间 $x$ 就能求出来速度了呢？

我们想求某个时间点上的速度，但是计算速度却需要比较两个时间点上的距离

如果你看到上面的内容你感到了疑惑，是正常的（

微积分的创始人也感到了这个疑惑（你就是创始人了！（逃）

这时候，我们就要明白 变化率 的意义，包括各种科学情景

你需要有一个解决这类矛盾的方案

Solve

先想象一下卫星是怎么知道你的速度的

卫星可能会测量你在很小的一段时间内走了多远（

比如测量一下在 $t$ , $t+0.001$ 时候车行驶了多远，就可以知道这个时间内车的速度了

这样就可以绕开刚刚的矛盾，不去单独计算每个点的速度

将刚刚的时间差命名作 $\text{d}x$ ，这个时间内运动的距离差叫做 $\text{d}s$

那么任意一个点时的速度就可以用 $\text{d}s\over\text{d}t$ 来表示

比如对于当 $t=2，\text{d}t=0.2$ 时，我们把图像画出来

放大：

这里 $\text{d}s\over\text{d}t$ 就可以代表 $t=2$ 时的速度了

所以说我们可以将 ${\text{d}s\over\text{d}t}$ 看作一个关于 $t$ 的函数（

当我给出一个时间，它就可以返回一个关于这个点的比值，所以，我们将速度看作一个时间的函数

${\text{d}s\over\text{d}t}(t)={s(t+\text{d}t)-s(t)\over\text{d}t}$

但是 $\text{d}t$ 该怎么办啊（，我们不能一直让 $\text{d}t=2$ 啊QAQ

实际上，在纯数学领域， $\text{d}t$ 是确定值的时候求得的东西并不叫作导数，而是 **当 $\text{d}t$ 无限逼近于 $0$ 的时候，这个比值的极限**

这怎么理解啊QAQ

幸好，从图像的角度来看，这个比值无限逼近有许多十分神奇的意义

我们把 $\text{d}s,\text{d}t$ 在途中画出来，那么 $\text{d} s\over \text{d}t$ 就是代表了穿过曲线上的直线的斜率

当 $\text{d}t$ 越来越小的时候，这两个点也就越来越近

当 $\text{d}t$ 无限逼近 $0$ 的时候，这条割线就变成了在 $t$ 处曲线的切线

（为了对比，取了一个原比例图和一个放大比例图（

（注意横坐标

所以说， $s(t)$ 在 $t$ 处的导数就是 $t$ 点 $s$ 的切线（

注意：

在上面我们并没有说过 ** $\text{d}t$ 是无限小的**

也没有说过 **把 $0$ 代入 $\text{d}t$ 就可以求导了**

$\text{d}t$ 并非是 $0$ ，只是一个十分小的非 $0$ 量，十分接近 $0$ 而已

Summary

用一个这样的方法，就可以让时间点的速度变的有意义了

我们不用处理 瞬时变化 的矛盾就可以绕开她了（

这样还有一个几何的理解，就是函数图上经过一个点的斜率

不过并竟 瞬时变化 并没有什么意义，所以说推荐不要把函数切线斜率理解为 瞬时变化率

切线斜率应该是 求函数上一个点附近的变化率的最佳近似 （虽然看起来很毒瘤

顺便说一下，这里的 $\text{d}s$ 是有正负号可以分的，也就是可以在一段时间内 ~~开倒车~~ 向相反的方向前进（

当 $\text{d}s<0$ 时，这里切线斜率就是负的了QAQ

Sample - 2

你可能会想，当 $\text{d}t\to 0$ 的时候，求 $\text{d}s\over\text{d}t$ 会十分的困难

Solve

然而并没有，我们举一个 $s(t)=t^3$ 的栗子：

比如当 $t=2$ 时，

易得

$\begin{align}{\text{d}s\over\text{d}t}(2)&={s(t+\text{d}t)-s(t)\over\text{d}t}\\&={(t+\text{d}t)^3-t^3\over\text{d}t}\\&={(2+\text{d}t)^3-2^3\over\text{d}t}\\&=3\times2^2+3\times2\times\text{d}t+(\text{d}t)^2\end{align}$

当 $\text{d}t$ 逼近于 $0$ 的时候，也就是时间差越来越小的时候，后面的 $6\times \text{d}t+(\text{d}t)^2$ 就可以被忽略了

我们不考虑 $\text{d}t$ 的值，却把最复杂的部分去删掉了

这时候就剩下一个 $3\times2^2$ 了

故

${\text{d}s\over\text{d}t}(2)=3\times2^2\rightarrow 12$

这也就表示了 $t=2$ 时 $s(t)$ 的切线斜率为 $12$

当然如果 $t$ 不是 $2$ ，我们也可以按照这样推，把刚刚柿子中的 $2$ 换为 $t$ 就好了（

${\text{d}s\over\text{d}t}(t)=3\times t^2$

这里就是关于 $s(t)$ 的一个导函数

Summary

可以自己练习一下导数的求法:

Problem 1

求 $f(x)=3x^4$ 的导数

Problem 2

求 $f(x)=x^t$ 的导数

基础最重要啊（

数学

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