n维空间被m个n-1维的“刀”最多切出多少块

我们经常会遇到比如说一条直线最多能被m个点分成多少部分，一个平面最多能被m条直线分成多少部分，一个球最多能被m个平面分成多少部分，..........像这种数论问题我们大家都知道是有固定公式的，下面就一起来瞅瞅公式的由来八，深入的了解也更易于记忆

来源于知乎一位叫安堇然的大神，大神的数学tql，接下来一起看看大神的解说吧~~
链接：https://www.zhihu.com/question/29837521/answer/45792706

我们知道对于一维空间，我们是用点去切，而二维空间，我们是用直线去切；在三维空间，我们是用面去切；所以到了四维空间我们就要拿一个立方体去切了；然后到了五维空间就要拿一个超立方体去切了，是不是感觉很好玩~
那就玩玩看吧……

我们记 $f(n,m)$ 为 $n$ 维空间被 $m$ 个 $n-1$ 维的"刀"切最多被切出的“块数”.（原谅我强迫症习惯用 $n$ 维空间~）

$f(n,0)=1$ ，这个比较显然
在一维空间，很简单，一条直线被 $m$ 个点切成了 $m+1$ 段，所以 $f(1,m)=m+1$ .
在二维空间，等于是把一个平面用直线去切咯，我们可以看一下 $f(2,m)$ 和 $f(2,m-1)$ 的关系，可以这样子想，我们先用 $m-1$ 条直线切好，然后再用第 $n$ 条直线去切，让这条直线与其他的 $m-1$ 条直线都有交点，就会多出 $n$ 块，也就是 $f(1,m-1)=m$ ，所以呢，我们有：

$f(2,m)=f(2,m-1)+f(1,m-1)$
这个用高中数列的累加法就可以算出来了~解出
$f(2,m)=\frac{m^{2}+m+2}{2}$

在三维空间，同样的我们用一个平面去切一个三维的空间，这是继续找 $f(3,m)$ 和 $f(3,n-1)$ 的关系吧，继续类比二维的思路，先用(n-1)个平面切好，然后再用第n个平面去切，让这条平面与其他的(n-1)个平面都有交点，就会多出 $f(2,n-1)$ 块，所以呢，我们有：

$f(3,m)=f(3,m-1)+f(2,m-1)$
这个计算用高中的数列知识依然可以算出来~解出
$f(3,m)=\frac{m^{3}+5m+6}{6}$

$f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-1,m-1)$
初值是 $f(1,m)=m+1$ ， $f(n,1)=2$ ……
因此可以推导出它的递推式：
$f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-1,m+1)$