题解|奇异值分解

奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的方法，它通过将矩阵分解为三个矩阵，来得到矩阵的奇异值和奇异向量。其数学表达式为：

其中， 是输入矩阵， 是左奇异向量， 是奇异值， 是右奇异向量。 通过的维度选择，可以实现矩阵的降维。

Jacobi方法是一种计算奇异值分解的方法，常用于小矩阵，其具体步骤如下：

1. 初始化矩阵

• 创建一个与输入矩阵 相关的矩阵 和 。
• 数学表达式为：

2. 计算旋转角度

• 计算旋转角度 。
• 数学表达式为： 更一般地说，Jacobi方法的计算公式为：

3. 计算旋转矩阵

• 计算旋转矩阵 。
• 数学表达式为：

4. 计算旋转后的矩阵

• 计算旋转后的矩阵 。
• 数学表达式为：

5. 更新矩阵

• 更新矩阵 。
• 数学表达式为：

6. 计算奇异值

• 计算奇异值 。
• 数学表达式为：

7. 计算右奇异向量矩阵 。

• 数学表达式为：

8. 计算奇异值矩阵 。

• 数学表达式为：

9. 计算左奇异向量矩阵

• 计算左奇异向量矩阵 。
• 数学表达式为：

标准代码如下

def svd_2x2_singular_values(A):
   a = A
   a_t = np.transpose(a)
   a_2 = a_t @ a
   v = np.eye(2)
   for _ in range(1):
       if a_2[0,0] == a_2[1,1]:
           theta = np.pi/4
       else:
           theta = 0.5 * np.arctan2(2 * a_2[0,1], a_2[0,0] - a_2[1,1])
       r = np.array(
           [
               [np.cos(theta), -np.sin(theta)],
               [np.sin(theta), np.cos(theta)]
               ]
           )
       d = np.transpose(r) @ a_2 @ r
       a_2 = d
       v = v @ r
   s = np.sqrt([d[0,0], d[1,1]])
   s_inv = np.array([[1/s[0], 0], [0, 1/s[1]]])
   
   u = a @ v @ s_inv
   return (u, s, v.T)