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量子门

题目描述

在一个量子计算实验中，有 个量子比特，其状态可以用一个 维二进制向量 表示。目标是找到一个操作序列，将系统从初始状态 演化到全零向量 。

我们有 种量子门操作。施加操作 会：

  1. 必定翻转第 个量子比特的状态。
  2. 由于纠缠，可能还会翻转一系列其他量子比特的状态。

每次操作都是一个翻转（异或 1）。同一个操作施加两次会抵消。

需要找到满足以下条件的最优解：

  1. 施加的操作门数量最少。
  2. 在数量最少的基础上，操作序列的字典序最小。

如果无解，输出 -1。

解题思路

本题的核心是找到一个操作门集合，其效果与初始状态进行异或（XOR）运算后结果为零。同时，要求这个集合的元素数量最少，且在数量相同时，集合内元素（操作门编号）的字典序最小。

考虑到数据范围 ，这提示我们可以使用一种暴力搜索的方法，而不是去实现复杂且容易出错的高斯消元。

一个直接且正确的策略是迭代加深的暴力搜索：

  1. 模型建立：

    • 将 个量子比特的初始状态看作一个 位的二进制数（位掩码, bitmask）。
    • 将每个门操作 的影响（它会翻转哪些比特）也表示为一个位掩码。操作 必定会翻转第 位，同时根据输入还会翻转其他纠缠的位。

  2. 迭代搜索：

    • 我们从操作数 开始，向上迭代到 。
    • 对于每一个 ，我们生成所有包含 个操作门的组合。
    • 例如，当 时，我们会测试组合 {门0, 门1}, {门0, 门2}, ..., {门n-1, 门n}。

  3. 验证组合：

    • 对于每一个生成的组合，我们计算其总效果。将组合中所有操作门的影响位掩码全部异或起来，得到一个最终的效果掩码。
    • 将这个效果掩码与初始状态掩码进行异或。如果结果为 0，说明这个组合是一个有效的解。

  4. 寻找最优解：

    • 因为我们是从最小的 （操作数）开始搜索的，所以第一个找到的有效解，其操作数必然是最少的。
    • 如果我们使用按字典序生成组合的方法（例如 C++ 的递归实现或 Python 的 itertools.combinations），那么对于这个最小的 ，第一个找到的解也必然是字典序最小的。
    • 因此，一旦找到解，就可以立即停止搜索，输出结果。

  5. 无解判断：

    • 如果整个循环（从 到 ）结束都没有找到任何解，那么问题无解，输出 -1。

这种方法虽然是暴力搜索，但其逻辑清晰，并且完美利用了 的数据限制，是本题的正解。

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
#include <algorithm>

// C++ 解决方案
using namespace std;

// 全局变量
int n, m;
int initial_state_mask; // 存储初始状态的位掩码
vector<int> effects; // 存储每个门操作影响的位掩码
vector<int> best_solution; // 存储找到的最优解
bool solution_found = false; // 标记是否已找到解

// 递归函数，用于生成并测试大小为 k 的操作组合
void find_solution(int start_index, int k, vector<int>& current_combination) {
    if (solution_found) {
        return; // 如果已经找到最优解，则提前终止搜索
    }

    // 当组合大小达到 k 时，测试该组合是否为有效解
    if (current_combination.size() == k) {
        int final_state = initial_state_mask;
        for (int gate_index : current_combination) {
            final_state ^= effects[gate_index];
        }

        if (final_state == 0) {
            best_solution = current_combination;
            solution_found = true;
        }
        return;
    }

    // 剪枝：如果剩余的元素不足以构成大小为 k 的组合，则返回
    if (start_index >= n || (k - current_combination.size()) > (n - start_index)) {
        return;
    }

    // 按字典序生成组合
    for (int i = start_index; i < n && !solution_found; ++i) {
        current_combination.push_back(i);
        find_solution(i + 1, k, current_combination);
        current_combination.pop_back(); // 回溯
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    cin >> n >> m;

    initial_state_mask = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int state;
        cin >> state;
        if (state == 1) {
            initial_state_mask |= (1 << i);
        }
    }

    effects.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        effects[i] = (1 << i); // 每个门 i 必定会翻转比特 i
    }

    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        // 门 u-1 额外影响比特 v-1
        effects[u - 1] |= (1 << (v - 1));
        // 注意：题目描述的是单向影响，如果关系是相互的，输入会提供两条记录
        // 例如 u->v 和 v->u
    }

    // 从操作数最少（k=0）开始迭代，寻找最优解
    for (int k = 0; k <= n; ++k) {
        vector<int> current_combination;
        find_solution(0, k, current_combination);
        if (solution_found) {
            break; // 一旦找到，即为操作数最少的解，停止搜索
        }
    }

    if (solution_found) {
        // 题目要求即使是空解也要输出一个换行
        if (!best_solution.empty()) {
            for (size_t i = 0; i < best_solution.size(); ++i) {
                cout << best_solution[i] + 1 << (i == best_solution.size() - 1 ? "" : " ");
            }
        }
        cout << endl;
    } else {
        cout << -1 << endl;
    }

    return 0;
}


import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    private static int n;
    private static int initialStateMask;
    private static int[] effects;
    private static List<Integer> bestSolution;
    private static boolean solutionFound = false;

    private static void findSolution(int startIndex, int k, List<Integer> currentCombination) {
        if (solutionFound) {
            return;
        }

        if (currentCombination.size() == k) {
            int finalState = initialStateMask;
            for (int gateIndex : currentCombination) {
                finalState ^= effects[gateIndex];
            }

            if (finalState == 0) {
                bestSolution = new ArrayList<>(currentCombination);
                solutionFound = true;
            }
            return;
        }
        
        if (startIndex >= n || (k - currentCombination.size()) > (n - startIndex)) {
            return;
        }

        for (int i = startIndex; i < n && !solutionFound; i++) {
            currentCombination.add(i);
            findSolution(i + 1, k, currentCombination);
            currentCombination.remove(currentCombination.size() - 1); // Backtrack
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();

        initialStateMask = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (sc.nextInt() == 1) {
                initialStateMask |= (1 << i);
            }
        }

        effects = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            effects[i] = (1 << i);
        }

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int u = sc.nextInt();
            int v = sc.nextInt();
            effects[u - 1] |= (1 << (v - 1));
        }

        for (int k = 0; k <= n; k++) {
            List<Integer> currentCombination = new ArrayList<>();
            findSolution(0, k, currentCombination);
            if (solutionFound) {
                break;
            }
        }

        if (solutionFound) {
            if (bestSolution != null && !bestSolution.isEmpty()) {
                for (int i = 0; i < bestSolution.size(); i++) {
                    System.out.print((bestSolution.get(i) + 1) + (i == bestSolution.size() - 1 ? "" : " "));
                }
            }
            System.out.println();
        } else {
            System.out.println(-1);
        }
    }
}


from itertools import combinations

def solve():
    n, m = map(int, input().split())
    s = list(map(int, input().split()))

    initial_state_mask = 0
    for i in range(n):
        if s[i] == 1:
            initial_state_mask |= (1 << i)

    effects = [0] * n
    for i in range(n):
        effects[i] = (1 << i)

    for _ in range(m):
        u, v = map(int, input().split())
        effects[u - 1] |= (1 << (v - 1))

    for k in range(n + 1):
        # itertools.combinations 按字典序生成组合
        for combo in combinations(range(n), k):
            final_state = initial_state_mask
            for gate_index in combo:
                final_state ^= effects[gate_index]
            
            if final_state == 0:
                # 找到的第一个解即为最优解
                result = [index + 1 for index in combo]
                print(*result)
                return

    # 循环结束仍未找到解
    print(-1)

solve()

算法及复杂度

  • 算法：迭代加深的暴力搜索。该方法通过从小到大枚举操作门的数量 k，并对每个 k 生成所有可能的组合进行测试。
  • 时间复杂度：，其中 是量子比特数量， 是最优解所需的操作门数量， 是组合数。由于我们是逐层搜索，一旦在第 层找到解就会停止，因此总复杂度取决于找到最优解之前需要检查的组合总数。对于 的数据范围，该方法是高效的。
  • 空间复杂度：，主要用于存储初始状态、每个门的影响以及递归过程中的当前组合。