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    游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。

SG函数：

        首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

        对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

【实例】取石子问题

有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？

SG[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;

x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;

x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;

x=4 时，可以取走4-  f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;

x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;

以此类推.....

   x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

SG[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：

1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。

2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。

3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。

4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,arr[15],sg[1005];
int mex(int x)
{
    if(sg[x]!=-1) return sg[x];
    bool vis[1005];
    for(int i=0;i<1005;i++)
        vis[i]=false;
    for(int i=0;i<10+1;i++){
        int temp = x-arr[i];
        if(temp<0) break;
        sg[temp]= mex(temp);
        vis[sg[temp]]=true;
    }
    for(int i=0;;i++)
    if(!vis[i]) {
        sg[x]=i; break;
    }
    return sg[x];
}
int main()
{   arr[0]=1;
    for(int i=1; i<=10;i++)
        arr[i]=arr[i-1]*2;
    while(cin>>n){
        memset(sg,-1,sizeof(sg));
        if(mex(n)) cout<<"Kiki\n";
        else cout<<"Cici\n";
    }
    return 0;
}
另一种写法（模板）

hdu 1848

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000+10
#define N 20
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n)
{
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j=0;f[j]<=i&&j<=N;j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;
        for(j = 0;;j++)
        if(!S[j])
        {
            SG[j] = j;
            break;
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m,k;
    f[0]=f[1]=1;
    for(int i = 2;i<=16;i++)
        f[i] = f[i-1] + f[i-2];
    getSG(1000);
    while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k)
    {
        if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
        else printf("Nacci\n");
    }
    return 0;
}

hdu 1847 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000+10
#define N 20
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n)
{
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        memset(S,0,sizeof(S));
        for(j=0;f[j]<=i&&j<=N;j++)
            S[SG[i-f[j]]] = 1;
        for(j = 0;;j++)
        if(!S[j])
        {
            SG[i] = j;
            break;
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m,k;
    f[0]=1;
    for(int i = 1;i<=11;i++)
        f[i] = f[i-1]*2;
    getSG(1000);
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(SG[n]) printf("Kiki\n");
        else printf("Cici\n");
    }
    return 0;
}