一、目标函数

      算例：
$f = {x_1}^2 + {x_2}^2$
      fmincon优化目标函数，梯度可带可不带，但是在(1)(2)情况下，最好带上：
            $(1) 梯度容易求出 (2) 加快优化速度$

1.首先建立简单的目标函数（不带梯度）

1)简单函数形式

fun = @(x)x(1)^2 + x(2)^2;

2)函数形式

function [f] = fun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2;
end

变量	作用
x	待优化变量
f:	返回目标函数在x处的值

2.建立标准目标函数（带梯度）

function [f,gradf] = fun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2;
gradf = [2*x(1);2*x(2)];
end

变量	作用
x	待优化变量
f:	返回目标函数在x处的值
gradf:	返回目标函数在x处的梯度

二、非线性约束

$\begin{array}{l} {x_1}^2 \le {x_2}\\ {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} \le 5\\ {x_1}={x_2}^2 \end{array}$
改写
$\begin{array}{l} {x_1}^2-{x_2} \le0 \\ {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} -5\le 0\\ {x_1}-{x_2}^2=0 \end{array}$

function [c,ceq] = nonlcon(x)
c(1) = x(1)^2-x2;
c(2) = x(1)^2+2*x1*x2-5;
ceq = x(1)-x(2)^2;
end

变量	作用
x	待优化变量
c:	返回非线性不等式约束
ceq:	返回非线性等式约束

三、目标函数与非线性约束带参数（变参数）

我们往往会遇到待优化函数或者非线性约束中带参数情况，有两种解决变法：

1.参数仅在目标函数中：

$\begin{array}{l} f = {p_1}{x_1}^2 + {p_2}{x_2}^2\\ {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} \le 5 \end{array}$

x0 = [-1,2];
p1 = 2; p2 =2;

%优化求解器选项配置
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp') 
%新手可将 options  = []

%优化求解器返回最优解
x = fmincon(@fun,x0,[],[],[],[],[],[],@nonlcon,options,p1,p2)%返回优化后变量

function [f,gradf] = fun(x,p1,p2)
f = p1*x(1)^2 + p2*x(2)^2;
gradf = [2*p1*x(1);2*p2*x(2)];
end

function [c,ceq] = nonlcon(x,p1,p2)
c = x(1)^2+2*x(1)*x(2)-5;
ceq = [];
end

<mark>对于fmincon没有的项一定要用空格站位</mark>
<mark>options</mark>表示优化器的配置选项，一般可以用 [ ] 代替
如上例：

options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp')

变量	作用
fmincon	优化求解函数
Display iter:	显示迭代过程
Algorithm sqp:	求解算法 SQP

详情见： https://www.mathworks.com/help/optim/ug/fmincon.html

2.目标函数与非线性约束均带参数

$\begin{array}{l} f = {p_1}{x_1}^2 + {p_2}{x_2}^2\\ {c_1}{x_1}^2 + {c_2}{x_1}{x_2} \le 5 \end{array}$

x0 = [-1,2];
p1 = 2;p2 =2;
c1 = 2;c2 =2;

%优化求解器选项配置
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp') 
%新手可将 options  = []

%优化求解器返回最优解
x = fmincon(@(x)fun(x,p1,p2),x0,[],[],[],[],[],[],...
                       @(x)nonlcon(x,c1,c2),options)%返回优化后变量
                       
function [f,gradf] = fun(x,p1,p2)
f = p1*x(1)^2 + p2*x(2)^2;
gradf = [2*p1*x(1);2*p2*x(2)];
end

function [c,ceq] = nonlcon(x,c1,c2)
c = c1*x(1)^2+c2*x(1)*x(2)-5;
ceq = [];
end

这里"…"是指当前行未完，连接下一行

fmincon 目标函数与非线性约束nonlcon带变参数

fmincon 目标函数与非线性约束（nonlcon）带变参数