ACM模版

描述

题解

这道题和 V2 所用算法基本相似,都是求组合,并且数据比较大,需要用到 Lucas 定理。

核心是求卡特兰数,我是第二次听说这个数,之前在整理 ACM 模版时看过,但是对它并不敏感,昨天看了一些题解后略微了解了一些,卡特兰数 * 2 就是这道题的结果,因为分为上下两部分嘛。卡特兰数公式为 C(2n, n) / (n + 1),也等价于 C(2n, n) - C(2n, n - 1),如果使用前者,那么涉及到一个除法,由于数据比较大,这里需要用到乘法逆元来转换为乘法,如果用后者,也就没什么可说了。

至于怎么求组合,也是有门路的,具体的看我整理的模版吧,里面涉及的数学原理我也解释不太清楚,之前在51的讨论区讨论过这个问题,但是时间长了,只记得大概了,今天抽空再琢磨琢磨这个组合的问题和卡特兰数。

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MOD = 10007;

int fac[MOD + 5];
int inv[MOD + 5];

int QPow(int x, int n)
{
    int ret = 1;
    int tmp = x % MOD;

    while (n)
    {
        if (n & 1)
        {
            ret = (ret * tmp) % MOD;
        }
        tmp = tmp * tmp % MOD;
        n >>= 1;
    }

    return ret;
}

void init()
{
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < MOD; i++)
    {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
    }
    inv[MOD - 1] = QPow(fac[MOD - 1], MOD - 2);
    for (int i = MOD - 2; i >= 0; i--)
    {
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
    }
}

inline int C(int n, int m)
{
    if (n < m)
    {
        return 0;
    }
    return fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}

int lucas(int n, int m)
{
    return m == 0 ? 1 : C(n % MOD, m % MOD) * lucas(n / MOD, m / MOD) % MOD;
}

int main()
{
    init();

    int n;
    scanf("%d", &n);
    n--;
    printf("%d\n", (lucas(n << 1, n) + MOD - lucas(n << 1, n - 1)) % MOD * 2 % MOD);

    return 0;  
}

参考

《组合数学相关》