ACM模版

描述

给出三维空间上的四个点（点与点的位置均不相同），判断这4个点是否在同一个平面内（4点共线也算共面）。如果共面，输出”Yes”，否则输出”No”。

Input
第1行：一个数T，表示输入的测试数量(1 <= T <= 1000)
第2 - 4T + 1行：每行4行表示一组数据，每行3个数，x, y, z, 表示该点的位置坐标(-1000 <= x, y, z <= 1000)。

Output
输出共T行，如果共面输出”Yes”，否则输出”No”。

Input示例
1
1 2 0
2 3 0
4 0 0
0 0 0

Output示例
Yes

题解

对于这个问题，方法不唯一，比较常用的是两种。
其一：先通过三点求平面方程，然后代入第四个点即可，这里需要用到的是矩阵求解多元一次方程组，也就是Gauss算法。
其二：先通过四个点求得三个空间向量，然后通过求三个向量构成的平行六面体的体积，也就是混合积，判断体积的值，如果非0，则不共面；如果为0，则共面（因为共面的话就无法构成平行六面体，变相的说也就是体积为0）。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

struct  point
{
    double x, y, z;
    point  operator - (point &o)
    {
        point  ans;
        ans.x = this->x - o.x;
        ans.y = this->y - o.y;
        ans.z = this->z - o.z;
        return ans;
    }
};

double  dot_product(const point &a, const point &b)
{
    return a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z;
}

point cross_product(const point &a, const point &b)
{
    point  ans;
    ans.x = a.y * b.z - a.z * b.y;
    ans.y = a.z * b.x - a.x * b.z;
    ans.z = a.x * b.y - a.y * b.x;
    return ans;
}

int main()
{
    point p[4];
    int T;
    for (scanf("%d", &T); T--;)
    {
        for (int i = 0; i < 4; ++i)
        {
            scanf("%lf%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y, &p[i].z);
        }
        puts(dot_product(p[3] - p[0], cross_product(p[2] - p[0], p[1] - p[0])) == 0.0 ? "Yes\n" : "No\n");
    }
    return 0;
}

参考

线性方程组
判断四点共面