CF-Codeforces Round #420 (Div. 2)-E-Okabe and El Psy Kongroo

描述

题解

这个题是矩阵快速幂问题，给定若干个上界，每个上界都是有一定宽度的，这些上界在 x 轴的投影是连续的，要我们从 (0,0) 移动到 (k,0) ，每次只能向右、右上、右下移动，所以呢，这个其实和《机器人走方格》有些相似，不过他是给定了连续的若干个矩形区域（每个上界和 x 轴之间的区域），需要求这些区域合并在一起后的方案数，另外这里我们的 k 是很大的，所以必须使用矩阵快速幂了。

因为上界最大为 15 ，所以我们需要构造一个 16∗16 的矩阵进行快速幂，这个矩阵的样子大概是酱紫的：

A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1100 \dots \dots 000 1110 \dots \dots 000 0111 \dots \dots 000 0011 \dots \dots 000 \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots 0000 \dots \dots 110 0000 \dots \dots 111 0000 \dots \dots 011 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

这也是本题的核心，构造出来这个矩阵，也就好写多了……

剩下的就看看代码吧，没有什么稀奇古怪的了，注意数据类型。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>

#define mod(x) ((x) % MOD)

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll MOD = 1e9 + 7;
const int MAX_MAT_SIZE = 16;

typedef struct Matrix
{
    ll m[MAX_MAT_SIZE][MAX_MAT_SIZE];
} mat;

mat A, B, pre, unit;

mat matrix_mul(mat a, mat b, int len)
{
    mat ret;
    memset(ret.m, 0, sizeof(ret.m));

    for (int k = 0; k <= len; k++)
    {
        for (int i = 0; i <= len; i++)
        {
            if (a.m[i][k])
            {
                for (int j = 0; j <= len; j++)
                {
                    ret.m[i][j] = mod(ret.m[i][j] + (ll)a.m[i][k] * b.m[k][j]);
                }
            }
        }
    }
    return ret;
}

void init()
{
    memset(A.m, 0, sizeof(A.m));
    for (int i = 0; i < MAX_MAT_SIZE; i++)
    {
        for (int j = i - 1; j < i + 2 && j < MAX_MAT_SIZE; j++)
        {
            if (j >= 0)
            {
                A.m[i][j] = 1;
            }
        }
    }

    memset(unit.m, 0, sizeof(unit.m));
    for (ll i = 0; i < MAX_MAT_SIZE; i++)
    {
        unit.m[i][i] = 1;
    }

    memset(pre.m, 0, sizeof(pre.m));
    pre.m[0][0] = 1;
}

Matrix matrix_quick_power(mat a, ll k, int len)
{
    mat ret = unit;

    while (k)
    {
        if (k & 1)
        {
            ret = matrix_mul(a, ret, len);
        }
        a = matrix_mul(a, a, len);
        k >>= 1;
    }

    return ret;
}

int n;
ll k;

int main()
{
    init();

    scanf("%d%lld", &n, &k);

    ll a, b;
    int c, flag = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld%lld%d", &a, &b, &c);
        if (b > k)
        {
            b = k;
            flag = 1;
        }
        B = matrix_quick_power(A, b - a, c);
        for (int j = c + 1; j < MAX_MAT_SIZE; j++)
        {
            pre.m[j][0] = 0;
        }
        B = matrix_mul(B, pre, c);

        for (int j = 0; j <= c; j++)
        {
            pre.m[j][0] = B.m[j][0];
        }
        if (flag == 1)
        {
            break;
        }
    }

    printf("%lld\n", B.m[0][0]);

    return 0;
}