二进制中1的个数

题目的主要信息：

统计32位整型有符号数二进制中1的个数
因负数用补码表示，故不能用连除法

举一反三：

学习完本题的思路你可以解决如下题目：

JZ64. 求1+2+3+...+n

JZ65. 不用加减乘除做加法

方法一：循环按位比较法（推荐使用）

知识点：位运算

计算机的数字由二进制表示，我们平常的运算是对整个数字进行运算，但是还可以按照二进制的每一位分别进行运算。常见运算有位与、位或、移位、位异或等。

思路：

我们可以检查该数字的二进制每一位是否为1，如果遍历二进制每一位呢？可以考虑移位运算，每次移动一位就可以。至于怎么统计到1呢？我们都只知道数字1与数字相位与运算，其实只是最后一位为1就是1，最后一位为0就是0，这样我们只需要将数字1移位运算，就可以遍历二进制的每一位，再去做位与运算，结果为1的就是二进制中为1的。

具体做法：

step 1：遍历二进制的32位，通过移位0-31次实现。
step 2：将移位后的1与数字进行位与运算，结果为1就记录一次。

Java实现代码：

public class Solution {
    public int NumberOf1(int n) {
        int res = 0;
        //遍历32位
        for(int i = 0; i < 32; i++){
            //按位比较
            if((n & (1 << i)) != 0)   
                res++;
        }
        return res;
    }
}

C++实现代码：

class Solution {
public:
    int  NumberOf1(int n) {
        int res = 0;
        //遍历32位
        for(int i = 0; i < 32; i++){
            //按位比较
            if((n & (1 << i)) != 0)   
                res++;
        }
        return res;
     }
};

Python实现代码：

class Solution:
    def NumberOf1(self , n: int) -> int:
        res = 0
        #遍历32位
        for i in range(32):
            #按位比较
            if (n & (1 << i)) != 0: 
                res += 1
        return res

复杂度分析：

时间复杂度： $O (k)$ ， $k$ 为int型的32位，一次遍历
空间复杂度： $O (1)$ ，常数级变量，没有额外辅助空间

方法二：位运算优化法（扩展思路）

思路：

有一个性质： $n\&(n-1)$ ，会将n的二进制中最低位由1变成0

我们可以不断让当前的 $n$ 与 $n - 1$ 做位与运算，直到 $n$ 的二进制全部变为 0 停止。因为每次运算会使得 $n$ 的最低位的 1 被翻转成0，因此运算次数就等于 $n$ 的二进制位中 1 的个数，由此统计1的个数。

具体做法：

step 1：使用循环检查 $n$ 是否为0.
step 2：不为0就与 $n - 1$ 做位与运算，去掉二进制最后一位的1，并统计次数。

图示：

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Java实现代码：

public class Solution {
    public int NumberOf1(int n) {
        int res = 0;
        //当n为0时停止比较
        while(n != 0){  
            n &= n - 1;
            res++;
        }
        return res;
    }
}

C++实现代码：

class Solution {
public:
    int NumberOf1(int n) {
        int res = 0;
        //当n为0时停止比较
        while(n){  
            n &= n - 1;
            res++;
        }
        return res;
     }
};

Python实现代码：

class Solution:
    def NumberOf1(self , n: int) -> int:
        res = 0
        #负数转换
        if n < 0:
            n &= 0xffffffff
        #当n为0时停止比较
        while n:  
            n &= n - 1
            res += 1
        return res

复杂度分析：

时间复杂度： $O (l o g_{2} n)$ ， $n$ 为数字的大小，循环次数等于 $n$ 的二进制位中1的个数，最坏情况下 $n$ 的二进制位全部为1，也即开一个2的log运算
空间复杂度： $O (1)$ ，常数级变量，没有额外辅助空间