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描述

题解

1∼n 的排列数是 n! ，阶乘的增长速度是恐怖的，题目中 1≤n,k≤109 ，那么 n 只要超过 13 ， 13!=6,227,020,800 ，已经超过了 k 的最大范围，所以我们很容易想到的是，将 1∼n 序列分成两部分，前部分是 1∼n−cnt ，后部分是 n−cnt+1∼n ，至于 cnt 嘛，当然是满足 cnt!≥k 的最小值。

分成如上两部分后，前部分肯定是顺序排列，所以我们可以利用数位 dp 来进行处理一下，只需要考虑有多少数字只包含 4 和 7 就好了，因为下标和数字是一样的。至于后部分，有一个叫做康拓展开式的东西可以派上用场，以前做八数码问题时好像用过这个来标记状态，这个东西可以很容易的进行状态的标记与还原，这里需要用到还原部分，也就是对 k 进行逆康拓展开即可，然后统一加上基数 n−cnt ，因为后边这个部分的数很少很少，不超过 13 个，所以呢，直接暴力枚举判断即可。

涨姿势了……第一次使用逆康托展开，很强势。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN = 15;
const int MAX_FAC = 14;
const int MAX_POW = 33;
const int MAGIC_4 = 4;
const int MAGIC_7 = 7;

ll n, k;
int num[MAXN];
ll pow[MAX_POW];
ll fac[MAX_FAC];

// 数位 DP，求 1~x 有多少幸运数字
ll dp(ll x)
{
    if (x == 0)
    {
        return 0;
    }

    int pos = 0;
    while (x)
    {
        num[++pos] = x % 10;
        x /= 10;
    }

    ll res = 0;
    for (int i = pos; i >= 1; i--)
    {
        if (num[i] > MAGIC_7)
        {
            res += pow[i];
            break;
        }
        else if (num[i] == MAGIC_7)
        {
            res += pow[i - 1];
            if (i == 1)
            {
                res++;
            }
        }
        else if (num[i] > MAGIC_4)
        {
            res += pow[i - 1];
            break;
        }
        else if (num[i] == MAGIC_4)
        {
            if (i == 1)
            {
                res++;
            }
        }
        else if (num[i] < MAGIC_4)
        {
            break;
        }
    }

    for (int i = 1; i < pos; i++)
    {
        res += pow[i];
    }

    return res;
}

bool vis[MAXN];
ll s[MAXN];

void reverse_cantor(ll n, ll k, ll base)
{
    --k;
    for (int i = 0, j; i < n; i++)
    {
        ll t = k / fac[n - i - 1];
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (!vis[j])
            {
                if (t == 0)
                {
                    break;
                }
                --t;
            }
        }

        s[i] = j + base;
        vis[j] = true;
        k %= fac[n - i - 1];
    }
}

bool check(ll n)
{
    if (n == 0)
    {
        return false;
    }
    while (n > 0)
    {
        if (n % 10 != MAGIC_4 && n % 10 != MAGIC_7)
        {
            return false;
        }
        n /= 10;
    }

    return true;
}

void init()
{
    fac[0] = pow[0] = 1;
    for (int i = 1; i < MAX_FAC; i++)
    {
        fac[i] = fac[i - 1] * i;
    }
    for (int i = 1; i < MAX_POW; i++)
    {
        pow[i] = pow[i - 1] * 2;
    }
}

int main()
{
    init();

    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    if (n < MAX_FAC && fac[n] < k)
    {
        puts("-1");
        return 0;
    }

    int cnt = 1;
    while (fac[cnt] < k)
    {
        cnt++;
    }

    ll pos = n - cnt, sta = pos + 1;
    ll ans = dp(pos);
    reverse_cantor(cnt, k, pos);
    for (ll i = sta; i <= n; i++)
    {
        if (check(i) && check(s[i - sta]))
        {
            ans++;
        }
    }

    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}