题解 | #买卖股票的最好时机(一)#

题目主要信息：

给出一个数组表示连续多日的股票价格
你可以选择在某一天买入股票，在另一天卖出股票，买卖都只有一次机会，不能在同一天
假设买卖没有手续费，问最高收益是多少，即卖出的价格减去买入的价格，如果没有利润需要返回0
可以看成查找数组中b-a的最大值，其中b必须在a的后面

举一反三：

学习完本题的思路你可以解决如下题目：

方法一：动态规划（推荐使用）

知识点：动态规划

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。

思路：

对于每天有到此为止的最大收益和是否持股两个状态，因此我们可以用动态规划。

具体做法：

step 1：用 $d p [i] [0]$ 表示第i天不持股到该天为止的最大收益， $d p [i] [1]$ 表示第i天持股，到该天为止的最大收益。
step 2：（初始状态） 第一天不持股，则总收益为0， $d p [0] [0] = 0$ ；第一天持股，则总收益为买股票的花费，此时为负数， $d p [0] [1] = - p r i c e s [0]$ 。
step 3：（状态转移） 对于之后的每一天，如果当天不持股，有可能是前面的若干天中卖掉了或是还没买，因此到此为止的总收益和前一天相同，也有可能是当天才卖掉，我们选择较大的状态 $d p [i] [0] = m a x (d p [i - 1] [0], d p [i - 1] [1] + p r i c e s [i])$ ；
step 4：如果当天持股，有可能是前面若干天中买了股票，当天还没卖，因此收益与前一天相同，也有可能是当天买入，此时收益为负的股价，同样是选取最大值： $d p [i] [1] = m a x (d p [i - 1] [1], - p r i c e s [i])$ 。

Java实现代码：

import java.util.*;
public class Solution {
    public int maxProfit (int[] prices) {
        int n = prices.length;
        //dp[i][0]表示某一天不持股到该天为止的最大收益，dp[i][1]表示某天持股，到该天为止的最大收益
        int[][] dp = new int[n][2]; 
        //第一天不持股，总收益为0
        dp[0][0] = 0; 
        //第一天持股，总收益为减去该天的股价
        dp[0][1] = -prices[0]; 
        //遍历后续每天，状态转移
        for(int i = 1; i < n; i++){ 
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
        }
        //最后一天不持股，到该天为止的最大收益
        return dp[n - 1][0]; 
    }
}

C++实现代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        //dp[i][0]表示某一天不持股到该天为止的最大收益，dp[i][1]表示某天持股，到该天为止的最大收益
        vector<vector<int> > dp(n, vector<int>(2, 0)); 
        //第一天不持股，总收益为0
        dp[0][0] = 0; 
        //第一天持股，总收益为减去该天的股价
        dp[0][1] = -prices[0]; 
        //遍历后续每天，状态转移
        for(int i = 1; i < n; i++){ 
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
        }
        //最后一天不持股，到该天为止的最大收益
        return dp[n - 1][0]; 
    }
};

Python代码实现：

class Solution:
    def maxProfit(self , prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        #dp[i][0]表示某一天不持股到该天为止的最大收益，dp[i][1]表示某天持股，到该天为止的最大收益
        dp = [[0] * 2 for i in range(n)] 
        #第一天不持股，总收益为0
        dp[0][0] = 0 
        #第一天持股，总收益为减去该天的股价
        dp[0][1] = -prices[0] 
        #遍历后续每天，状态转移
        for i in range(1, n): 
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i])
        #最后一天不持股，到该天为止的最大收益
        return dp[n - 1][0]

复杂度分析：

时间复杂度： $O (n)$ ，其中 $n$ 为数组长度，遍历一次数组
空间复杂度： $O (n)$ ，动态规划辅助数组的空间

方法二：贪心（扩展思路）

知识点：贪心思想

贪心思想属于动态规划思想中的一种，其基本原理是找出整体当中给的每个局部子结构的最优解，并且最终将所有的这些局部最优解结合起来形成整体上的一个最优解。