ACM模版

描述

给出圆的圆心和半径，以及三角形的三个顶点，问圆同三角形是否相交。相交输出”Yes”，否则输出”No”。（三角形的面积大于0）。

Input
第1行：一个数T，表示输入的测试数量(1 <= T <= 10000)，之后每4行用来描述一组测试数据。
4-1：三个数，前两个数为圆心的坐标xc, yc，第3个数为圆的半径R。(-3000 <= xc, yc <= 3000, 1 <= R <= 3000）
4-2：2个数，三角形第1个点的坐标。
4-3：2个数，三角形第2个点的坐标。
4-4：2个数，三角形第3个点的坐标。(-3000 <= xi, yi <= 3000）

Output
共T行，对于每组输入数据，相交输出”Yes”，否则输出”No”。

Input示例
2
0 0 10
10 0
15 0
15 5
0 0 10
0 0
5 0
5 5

Output示例
Yes
No

题解

整体来分析，分为三种情况，一种是点全部在圆内，则输出NO；另一种是三点全在圆外，这个情况是重点，需要仔细分析（因为只知道都在圆外无法确定是否相交）；最后，其他情况的全部是相交的情况，即输出Yes。
那么来分析第二种情况，直观的说，就是判断三角形三条边是否存在和圆相交的点，那么问题最后就转化为了判断线段是否与圆相交。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef struct  // 点结构
{
    ll x, y;
} Point;

Point A, B, C, O;   // 三角形三点与圆心
ll r;               // 半径

// 两点之间距离平方
ll distance(Point *p_1, Point *p_2)
{
    return (p_1->x - p_2->x) * (p_1->x - p_2->x) + (p_1->y - p_2->y) * (p_1->y - p_2->y);
}

// 判断线段是否和圆相交
int segOnCircle(Point *p_1, Point *p_2)
{
    ll a, b, c, dist_1, dist_2, angle_1, angle_2;   // ax + by + c = 0;
    if (p_1->x == p_2->x)                           // 当x相等
    {
        a = 1, b = 0, c = -p_1->x;
    }
    else if (p_1->y == p_2->y)                      // 当y相等
    {
        a = 0, b = 1, c = -p_1->y;
    }
    else
    {
        a = p_1->y - p_2->y;
        b = p_2->x - p_1->x;
        c = p_1->x * p_2->y - p_1->y * p_2->x;
    }
    dist_1 = a * O.x + b * O.y + c;
    dist_1 *= dist_1;
    dist_2 = (a * a + b * b) * r * r;
    if (dist_1 > dist_2)
    {
        return 0;
    }
    angle_1 = (O.x - p_1->x) * (p_2->x - p_1->x) + (O.y - p_1->y) * (p_2->y - p_1->y);
    angle_2 = (O.x - p_2->x) * (p_1->x - p_2->x) + (O.y - p_2->y) * (p_1->y - p_2->y);
    if (angle_1 > 0 && angle_2 > 0)
    {
        return 1;
    }
    return 0;
}

// 判断是否相交，相交返回1，否则返回0
int intersect()
{
    ll distA = distance(&O, &A);    // OA^2
    ll distB = distance(&O, &B);    // OB^2
    ll distC = distance(&O, &C);    // OC^2
    ll r2 = r * r;                  // r^2
    if (distA < r2 && distB < r2 && distC < r2)         // 圆包含三角形
    {
        return 0;
    }
    else if (distA > r2 && distB > r2 && distC > r2)    // 三点都在圆外
    {
        return segOnCircle(&A, &B) || segOnCircle(&A, &C) || segOnCircle(&B, &C);   // 都不相交返回0，反之，返回1
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &O.x, &O.y, &r, &A.x, &A.y, &B.x, &B.y, &C.x, &C.y);
        printf("%s\n", intersect() ? "Yes" : "No");
    }
    return 0;
}

参考

判断线段与圆是否相交