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Floyd求最小环

令e(u, v)表示u和v之间的连边，令min(u, v)表示删除u和v之间的连边之后u和v之间的最短路, 最小环则是min(u, v) + e(u, v). 时间复杂度是 O(EV^2).
改进算法
在floyd的同时,顺便算出最小环
g[i][j]=i, j之间的边长

dist:=g;
for k:=1 to n do begin for i:=1 to k-1 do for j:=i+1 to k-1 do answer:=min(answer, dist[i][j]+g[i][k]+g[k][j]);
    for i:=1 to n do for j:=1 to n do dist[i][j]:=min(dist[i][j], dist[i][k]+dist[k][j]);
end;

最小环改进算法的证明
一个环中的最大结点为k(编号最大), 与他相连的两个点为i, j, 这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+i到j的路径中所有结点编号都小于k的最短路径长度. 根据floyd的原理, 在最外层循环做了k-1次之后, dist[i][j]则代表了i到j的路径中所有结点编号都小于k的最短路径综上所述,该算法一定能找到图中最小环。

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 110;

int n, m;               // n:节点个数, m:边的个数
int g[MAXN][MAXN];      // 无向图
int dist[MAXN][MAXN];   // 最短路径
int r[MAXN][MAXN];      // r[i][j]: i到j的最短路径的第一步
int out[MAXN], ct;      // 记录最小环

int solve(int i, int j, int k)
{   // 记录最小环
    ct = 0;
    while (j != i)
    {
        out[ct++] = j;
        j = r[i][j];
    }
    out[ct++] = i;
    out[ct++] = k;
    return 0;
}

int main()
{
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        int i, j, k;
        for (i = 0; i < n; i++)
        {
            for (j = 0; j < n; j++)
            {
                g[i][j] = INF;
                r[i][j] = i;
            }
        }
        for (i = 0; i < m; i++)
        {
            int x, y, l;
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &l);
            --x;
            --y;
            if (l < g[x][y])
            {
                g[x][y] = g[y][x] = l;
            }
        }
        memmove(dist, g, sizeof(dist));
        int Min = INF;              // 最小环
        for (k = 0; k < n; k++)
        {                           // Floyd
            for (i = 0; i < k; i++) // 一个环中的最大结点为k(编号最大)
            {
                if (g[k][i] < INF)
                {
                    for (j = i + 1; j < k; j++)
                    {
                        if (dist[i][j] < INF && g[k][j] < INF && Min > dist[i][j] + g[k][i] + g[k][j])
                        {
                            Min = dist[i][j] + g[k][i] + g[k][j];
                            solve(i, j, k);     // 记录最小环
                        }
                    }
                }
            }
            for (i = 0; i < n; i++)
            {
                if (dist[i][k] < INF)
                {
                    for (j = 0; j < n; j++)
                    {
                        if (dist[k][j] < INF && dist[i][j] > dist[i][k]+dist[k][j])
                        {
                            dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                            r[i][j] = r[k][j];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        if (Min < INF)
        {
            for (ct--; ct >= 0; ct--)
            {
                printf("%d", out[ct] + 1);
                if (ct)
                {
                    printf(" ");
                }
            }
        }
        else
        {
            printf("No solution.");
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}