题目主要信息:
  • 给定一个数组,其中代表每家拥有的钱数
  • 小偷每次不能偷取数组中相邻位置的钱,只要不相邻的钱都可以偷
  • 求最多能偷到钱数
举一反三:

学习完本题的思路你可以解决如下题目:

BM79.打家劫舍(二)

BM80.买卖股票的最好时机(一)

BM81.买卖股票的最好时机(二)

BM82.买卖股票的最好时机(三)

方法:动态规划(推荐使用)

知识点:动态规划

动态规划算法的基本思想是:将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解;对于重复出现的子问题,只在第一次遇到的时候对它进行求解,并把答案保存起来,让以后再次遇到时直接引用答案,不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果

思路:

或许有人认为利用贪心思想,偷取最多人家的钱就可以了,要么偶数家要么奇数家全部的钱,但是有时候会为了偷取更多的钱,或许可能会连续放弃两家不偷,因此这种方案行不通,我们依旧考虑动态规划。

具体做法:

  • step 1:用dp[i]表示长度为i的数组,最多能偷取到多少钱,只要每次转移状态逐渐累加就可以得到整个数组能偷取的钱。
  • step 2:(初始状态) 如果数组长度为1,只有一家人,肯定是把这家人偷了,收益最大,因此dp[1]=nums[0]dp[1] = nums[0]
  • step 3:(状态转移) 每次对于一个人家,我们选择偷他或者不偷他,如果我们选择偷那么前一家必定不能偷,因此累加的上上级的最多收益,同理如果选择不偷他,那我们最多可以累加上一级的收益。因此转移方程为dp[i]=max(dp[i1],nums[i1]+dp[i2])dp[i] = max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2])。这里的i在dp中为数组长度,在nums中为下标。

图示:

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Java实现代码:

import java.util.*;
public class Solution {
    public int rob (int[] nums) {
        //dp[i]表示长度为i的数组,最多能偷取多少钱
        int[] dp = new int[nums.length + 1]; 
        //长度为1只能偷第一家
        dp[1] = nums[0]; 
        for(int i = 2; i <= nums.length; i++)
            //对于每家可以选择偷或者不偷
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]); 
        return dp[nums.length];
    }
}

C++实现代码:

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        //dp[i]表示长度为i的数组,最多能偷取多少钱
        vector<int> dp(nums.size() + 1, 0); 
        //长度为1只能偷第一家
        dp[1] = nums[0]; 
        for(int i = 2; i <= nums.size(); i++)
            //对于每家可以选择偷或者不偷
            dp[i] = max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]); 
        return dp[nums.size()];
    }
};

Python代码实现:

class Solution:
    def rob(self , nums: List[int]) -> int:
        #dp[i]表示长度为i的数组,最多能偷取多少钱
        dp = [0 for i in range(len(nums) + 1)] 
        #长度为1只能偷第一家
        dp[1] = nums[0] 
        for i in range(2, len(nums) + 1):
            #对于每家可以选择偷或者不偷
            dp[i] = max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]) 
        return dp[len(nums)]

复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n)O(n),其中nn为数组长度,遍历一次数组
  • 空间复杂度:O(n)O(n),动态规划辅助数组的空间