P5273 【模板】多项式幂函数 (加强版)

注意：这里多项式快速幂，多项式的幂，幂可以直接对系数的模mod取模。
即，m%=mod即可。
但是在处理的过程中要计算 A0^m，这里 A0^m%mod = A0^{m%（mod-1）}%mod

但是不知道为什么。。。我的代码跑的比别人的慢好多。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#define ll long long
#define llu unsigned ll
using namespace std;
const int maxn=8e5+100;
const int p=998244353;
const int mod=998244353;
const int g=3;
int fi[maxn];
int a[maxn],inva[maxn],da[maxn],lna[maxn],c[maxn],iinv[maxn];
int f[maxn];
int n;
ll m=0,mm=0;

void get_inv(int n)
{
    iinv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        iinv[i]=1ll*(mod-mod/i)*iinv[mod%i]%mod;
}

int mypow(int a,int b)
{
    if(b<0) return mypow(mypow(a,p-2),-b);
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=1ll*ans*a%p;
        a=1ll*a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}

int getlen(int n,int m)//n，m是次数
{
    int len=1,cnt=0;
    while(len<=n+m) len<<=1,cnt++;
    for(int i=0;i<len;i++)
        fi[i]=((fi[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
    return len;
}

void ntt(int *x,int len,int f)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<fi[i]) swap(x[i],x[fi[i]]);

    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        int r=i<<1;
        int wn=mypow(g,f*(p-1)/r);
        for(int j=0;j<len;j+=r)
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                int xx=x[j+k],yy=1ll*w*x[j+i+k]%p;
                x[j+k]=(xx+yy)%p;
                x[j+i+k]=((xx-yy)%p+p)%p;
                w=1ll*w*wn%p;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        int invn=mypow(len,p-2);
        for(int i=0;i<len;i++)
            x[i]=1ll*x[i]*invn%p;
    }
}


void inv(int n,int *a,int *b)//n是项数
{
    if(n==1)
    {
        b[0]=mypow(a[0],p-2);
        return ;
    }
    inv((n+1)>>1,a,b);
    int len=1,cnt=0;
    while(len<=(n<<1)) len<<=1,cnt++;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        fi[i]=((fi[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
        c[i]=(i<n?a[i]:0);
        b[i]=(i<n?b[i]:0);
    }
    ntt(c,len,1);
    ntt(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        b[i]=(2-(ll)c[i]*b[i]%p+p)%p*b[i]%p;
    ntt(b,len,-1);
    for(int i=n;i<len;i++)
        b[i]=0;
}

void dao(int *a,int *b,int n,int len)
{
    for(int i=1;i<n;i++)
        b[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;
    for(int i=n-1;i<len;i++)
        b[i]=0;
}

void ji(int *a,int n,int len)
{
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
        a[i+1]=(ll)a[i]*iinv[i+1]%mod;
    a[0]=0;
    for(int i=n;i<len;i++)
        a[i]=0;
}

void ln(int *a,int n)//n是项数
{
    int len=getlen(n-2,n-1);
    dao(a,da,n,len);
    inv(n-1,a,inva);
    len=getlen(n-2,n-1);

    ntt(da,len,1);
    ntt(inva,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) lna[i]=(ll)da[i]*inva[i]%mod;
    ntt(lna,len,-1);

    ji(lna,n,len);
}

void eexp(int *f,int *a,int n)//n是项数
{
    if(n==1)
    {
        a[0]=1;
        return ;
    }
    eexp(f,a,(n+1)>>1);
    ln(a,n);
    int len=getlen(n-1,n-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        lna[i]=(-lna[i]+f[i]+mod)%mod;

    lna[0]=(lna[0]+1)%mod;
    ntt(a,len,1);
    ntt(lna,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*a[i]*lna[i]%mod;
    ntt(a,len,-1);
    for(int i=n;i<len;i++)
        a[i]=0;

}

int main(void)
{
    scanf("%d%*c",&n);
    get_inv(n);

    char ch;
    bool flag=false;
    while(isdigit(ch=getchar()))
    {
        m=m*10+ch-'0';
        mm=mm*10+ch-'0';
        if(m>=mod) flag=true;
        m%=mod;
        mm%=(mod-1);
    }

    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&f[i]);
    int k=0;
    while(k<n&&f[k]==0) k++;

    if(1ll*k*m>=n||(flag&&k))
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("0 ");
        putchar('\n');
        return 0;
    }

    n-=k;
    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i+k];
    for(int i=n;i<n+k;i++) f[i]=0;
    int f0=f[0],invf=mypow(f[0],mod-2);
    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=1ll*f[i]*invf%mod;
    ln(f,n);
    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=m*lna[i]%mod,lna[i]=0;
    eexp(f,a,n);
    int f0mm=mypow(f0,mm);
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*f0mm%mod;

    int now=k*m;
    n+=k;

    for(int i=n-1;i>=now;i--) a[i]=a[i-now];
    for(int i=now-1;i>=0;i--) a[i]=0;
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",a[i]);
    putchar('\n');
    return 0;

}

又来补充一种新的解法：
常数还是巨大，吸氧才过。

考虑为什么要保证 A0=1 --------为了使 ln（A）0 = 0 （对多项式A取对数的常数项）。
为什么要使 ln（A）0=0 --------为了计算exp时，递归到尽头时，使B0=1。（使exp后常数项为 e⁰=1）

我们考虑直接求出 B=A^k 的常数项作为 b [ 0 ] 来用，那么他是多少呢？------ A0^k

考虑 A0≠0 和 A0=0 两种情况来求解即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#define ll long long
#define llu unsigned ll
using namespace std;
const int maxn=8e5+100;
const int p=998244353;
const int mod=998244353;
const int g=3;
int fi[maxn];
int a[maxn],inva[maxn],da[maxn],lna[maxn],c[maxn],iinv[maxn];
int f[maxn];
int n;
ll m=0,mm=0;

void get_inv(int n)
{
    iinv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        iinv[i]=1ll*(mod-mod/i)*iinv[mod%i]%mod;
}

int mypow(int a,int b)
{
    if(b<0) return mypow(mypow(a,p-2),-b);
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=1ll*ans*a%p;
        a=1ll*a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}

int getlen(int n,int m)//n，m是次数
{
    int len=1,cnt=0;
    while(len<=n+m) len<<=1,cnt++;
    for(int i=0;i<len;i++)
        fi[i]=((fi[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
    return len;
}

void ntt(int *x,int len,int f)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<fi[i]) swap(x[i],x[fi[i]]);

    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        int r=i<<1;
        int wn=mypow(g,f*(p-1)/r);
        for(int j=0;j<len;j+=r)
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                int xx=x[j+k],yy=1ll*w*x[j+i+k]%p;
                x[j+k]=(xx+yy)%p;
                x[j+i+k]=((xx-yy)%p+p)%p;
                w=1ll*w*wn%p;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        int invn=mypow(len,p-2);
        for(int i=0;i<len;i++)
            x[i]=1ll*x[i]*invn%p;
    }
}


void inv(int n,int *a,int *b)//n是项数
{
    if(n==1)
    {
        b[0]=mypow(a[0],p-2);
        return ;
    }
    inv((n+1)>>1,a,b);
    int len=1,cnt=0;
    while(len<=(n<<1)) len<<=1,cnt++;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        fi[i]=((fi[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
        c[i]=(i<n?a[i]:0);
        b[i]=(i<n?b[i]:0);
    }
    ntt(c,len,1);
    ntt(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        b[i]=(2-(ll)c[i]*b[i]%p+p)%p*b[i]%p;
    ntt(b,len,-1);
    for(int i=n;i<len;i++)
        b[i]=0;
}

void dao(int *a,int *b,int n,int len)
{
    for(int i=1;i<n;i++)
        b[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;
    for(int i=n-1;i<len;i++)
        b[i]=0;
}

void ji(int *a,int n,int len)
{
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
        a[i+1]=(ll)a[i]*iinv[i+1]%mod;
    a[0]=0;
    for(int i=n;i<len;i++)
        a[i]=0;
}

void ln(int *a,int n)//n是项数
{
    int len=getlen(n-2,n-1);
    dao(a,da,n,len);
    inv(n-1,a,inva);
    len=getlen(n-2,n-1);

    ntt(da,len,1);
    ntt(inva,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) lna[i]=(ll)da[i]*inva[i]%mod;
    ntt(lna,len,-1);

    ji(lna,n,len);
}

void eexp(int *f,int *a,int n)//n是项数
{
    if(n==1)//a[0]已经处理好了
        return ;
    eexp(f,a,(n+1)>>1);
    ln(a,n);
    int len=getlen(n-1,n-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        lna[i]=(-lna[i]+f[i]+mod)%mod;

    lna[0]=(lna[0]+1)%mod;
    ntt(a,len,1);
    ntt(lna,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*a[i]*lna[i]%mod;
    ntt(a,len,-1);
    for(int i=n;i<len;i++)
        a[i]=0;

}

int main(void)
{
    scanf("%d%*c",&n);
    get_inv(n);

    char ch;
    bool flag=false;
    while(isdigit(ch=getchar()))
    {
        m=m*10+ch-'0';
        mm=mm*10+ch-'0';
        if(m>=mod) flag=true;
        m%=mod;
        mm%=(mod-1);
    }

    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&f[i]);
    int k=0;
    while(k<n&&f[k]==0) k++;

    if(1ll*k*m>=n||(flag&&k))
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            printf("0 ");
        putchar('\n');
        return 0;
    }

    n-=k;
    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i+k];
    for(int i=n;i<n+k;i++) f[i]=0;
    int f0=mypow(f[0],mm);
    ln(f,n);
    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=m*lna[i]%mod,lna[i]=0;
    a[0]=f0;
    eexp(f,a,n);

    int now=k*m;
    n+=k;

    for(int i=n-1;i>=now;i--) a[i]=a[i-now];
    for(int i=now-1;i>=0;i--) a[i]=0;
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",a[i]);
    putchar('\n');
    return 0;

}