2020牛客暑期多校训练营（第二场） K、Keyboard Free （计算几何，期望）

题面：

题意：
给定三个同心圆，在这三个圆上分别选择一点，然后问这三点组成的三角形的面积的期望值。

官方题解：

题解：
就是说A点任意确定即可，然后我们可以等分一个半圆枚举B点，求出C点到AB距离的期望。
一开始是写出AB的表达式，然后再用距离公式求出期望，发现。。。积分积不动。

参考这张图。
A点是确定一点，B点是等分枚举点。
设当前B点的坐标为 $（ r 2 c o s α ， r 2 s i n α ）$
我们转换坐标系，其中x轴垂直于AB。
我们设D为最大圆上一点，坐标为 $（ r 3 c o s β ， r 3 s i n β ）$ ，那么D点到直线AB的距离为
$∣ r 3 * s i n ∠ O C E - r 3 * c o s β ∣ ，我们设 ∠ O C E 为 p （ p 可求）$

那么D到直线AB的距离就是 $∣ r 3 * s i n p - r 3 * c o s β ∣$

那么从 $0 到 2 * p i 的 \int ∣ r 3 * s i n p - r 3 * c o s β ∣ d β / （ 2 * p i ）$ 就是期望距离

$a n s = 2 * r 3 * （ 0 到 p i ）的 \int ∣ s i n p - c o s β ∣ d β / （ 2 * p i ）$

$由 c o s (p i / 2 - α) = s i n α 和 s i n p = c o s β$

$可分为 0 - - p i / 2 - p 和 p i / 2 - p - - p i 上的积分。$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define llu unsigned ll
#define ld long double
#define pr make_pair
#define pb push_back
//#define lc (cnt<<1)
//#define rc (cnt<<1|1)
#define len(x) (t[(x)].r-t[(x)].l+1)
#define tmid ((l+r)>>1)
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=100100;
const int maxm=100100;
const int up=1000;


int main(void)
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int r1,r2,r3;
        scanf("%d%d%d",&r1,&r2,&r3);
        if(r1>r2) swap(r1,r2);
        if(r2>r3) swap(r2,r3);
        if(r1>r2) swap(r1,r2);
        double ans=0;
        double x1=r1,y1=0;
        for(int i=1;i<=up;i++)
        {
            double aerfa=(i-0.5)/up*pi;
            double x2=r2*cos(aerfa),y2=r2*sin(aerfa);
            double disab=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));
            double d=r1*r2*sin(aerfa)/disab;
            double p=asin(d/r3);
            double exdis=2*r3*(cos(p)+p*sin(p))/pi;
            ans+=disab*exdis/2;
        }
        printf("%.1f\n",ans/up);
    }
    return 0;
}