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题面：

题意：
给定 n 个 n 维随机 0/1 向量，求这 n 个 n 维随机 0/1 向量组成的矩阵满秩的概率。

题解：

对于每一个长度为 n 的向量，都有 2 n 2^n 2n 种情况，因为要求 n 个向量线性独立，所以我们依次讨论：
对于第一个向量来说，只需要至少有一个位置为 1 即可，即全部为 0 的情况不满足条件，此时满足条件的情况为 2 n − 1 2^n-1 2n−1
对于第二个向量来说，需要满足的条件是，不能全部为 0 ，且不能被第一个向量所表示，此时满足条件的情况为 2 n − 2 2^n-2 2n−2
对于第三个向量来说，同样不能为 0 ，不能被第一个向量所表示，不能被第二个向量所表示，不能被第一个向量和第二个向量所表示，此时满足条件的情况为 2 n − 4 2^n-4 2n−4
对于第四个向量来说，不能被前面向量表示的集合为 { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } ，共八种情况，所以此时满足条件的情况为 2 n − 8 2^n-8 2n−8
…
对于第 n 个向量来说，不能被前面 n - 1 个向量单独或混合表示，此时满足条件的情况为 2 n − 2 n − 1 2^n-2^{n-1} 2n−2n−1

有 f [ n ] = ∏ i = 0 n − 1 2 n − 2 i 2 n f[n]=\prod_{i=0}^{n-1}\frac{2^n-2^i}{2^n} f[n]=∏i=0n−1​2n2n−2i​

可以得到公式 f [ n ] = f [ n − 1 ] ∗ 2 n − 1 2 n f[n]=f[n-1]*\frac{2^n-1}{2^n} f[n]=f[n−1]∗2n2n−1​

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<list>
#include<ctime>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define llu unsigned ll
#define ld long double
#define pr make_pair
#define pb push_back
#define lc (cnt<<1)
#define rc (cnt<<1|1)
#define len(x) (t[(x)].r-t[(x)].l+1)
#define tmid ((l+r)>>1)
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-1;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=20000100;
const int maxp=400100;
const int maxm=600100;
const int up=200000;

int f[maxn];

ll mypow(ll a,ll b)
{
    a%=mod,b%=(mod-1);
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main(void)
{
    ll pow2=2,inv2=mypow(2,mod-2);
    ll inv=inv2;
    f[1]=inv2;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        pow2=pow2*2%mod;
        inv2=inv2*inv%mod;
        f[i]=f[i-1]*(pow2-1+mod)%mod*inv2%mod;
        f[i-1]^=f[i-2];
    }
    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",f[n]);
    }
    return 0;
}