2020 Multi-University Training Contest 5---- HDU--6814、Tetrahedron （数学，推式子）

题面：

题意：
有一个四面体，已知某一个顶点上的三条边相互垂直，同时知道这三条边长度在 $1$ 到 $n$ 的正整数中均匀分布，且相互独立，令这个点到对应底面的距离为 $h$ ，求 $\frac{1}{h^{2}}$ 的期望。

题解：
可以以该点为原点，三条边为轴，建立直角坐标系。
那么显然可以得到四面体所有点的坐标。
用叉积算出底面面积，运用体积公式列方程求解即可。

$V = <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{6} </mstyle> a b c = <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{3} </mstyle> S h$

可解得：

$<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{h^{2}} </mstyle> = <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{a^{2}} </mstyle> + <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{b^{2}} </mstyle> + <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{c^{2}} </mstyle>$

那么：

$E (<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{h^{2}} </mstyle>) = 3 * E (<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{a^{2}} </mstyle>)$

处理一个 $<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> \frac{1}{a^{2}} </mstyle>$ 的前缀和即可。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<set>
#include<ctime>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define llu unsigned ll
#define ld long double
#define pr make_pair
#define pb push_back
//#define lc (cnt<<1)
//#define rc (cnt<<1|1)
#define len(x) (t[(x)].r-t[(x)].l+1)
#define tmid ((l+r)>>1)
#define fhead(x) for(int i=head[(x)];i;i=nt[i])
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const double alpha=0.75;
const int mod=998244353;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=6000100;
const int maxm=100100;
const int maxp=100100;
const int up=1100;

ll inv[maxn],sum[maxn];

int main(void)
{
    inv[1]=1;
    sum[1]=3*inv[1]*inv[1];
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        sum[i]=(sum[i-1]+3*inv[i]*inv[i])%mod;
    }
    int tt,n;
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",sum[n]*inv[n]%mod);
    }
    return 0;
}