一、无向图的割点与桥的基本概念：
给定无向连通图G = (V, E)
割点：
对于x∈V，从图中删去节点x以及所有与x关联的边之后，G分裂为两个或两个以上不相连的子图，则称x为割点
割边（桥）：
若对于e∈E，从图中删去边e之后，G分裂成两个不相连的子图，则称e为G的桥或割边
一般无向图（不一定连通）的割点与桥就是它的各个连通块的各点和桥
Tarjan算法基于无向图的深度优先遍历。
时间戳
在图的深度优先遍历过程中，按照每个节点第一次被访问的时间顺序，依次给予N个节点1~N的整数标记，该标记被称为“时间戳”，记为dfn[x]
搜索树
在无向连通图中任选一个节点出发进行深度优先遍历吗，每个节点只访问一次。所有发生递归的边(x, y)（换言之，从x到y是对y 的第一次访问）构成一棵树，称为“无向连通图的搜索树”。一般无向图的各个连通块的搜索树构成无向图的“搜索森林”。对于深度优先遍历出的搜索树，按照被遍历的次序，标记节点的时间戳
追溯值
追溯值low[x]。设subtree(x)表示搜索树中以x为根的子树。low[x]定义为以下节点时间戳的最小值
即：
1.subtree(x)中的节点
2.通过一条不在搜索树上的边，能够到达subtree(x)的节点
为了计算low[x]，应该先令low[x] = dfn[x],然后考虑从x出发的每条边(x, y):
若在搜索树上x是y的父节点，则令low[x] = min(low[x], low[y])
若无向边(x, y)不是搜索树上的边，则令low[x] = min(low[x], dfn[y])。
二、割边的判定法则：
无向边(x, y)是桥，当且仅当搜索树上存在x的一个子节点y，满足:
dfn[x] < low[y]
根据定义，dfn[x] <low[y]说明从subtree(y)出发，在不经过(x, y)的前提下，不管走哪条边，都无法到达x或比x更早访问的节点。若把(x, y)删除，则subtree(y)就好像形成了封闭的环境，与节点x没有边相连，图断成了两部分，(x, y)为桥
反之，若不存在这样的子节点y，使得dfn[x] < low[y]，这说明每个subtree(y)都能绕行其他边到x或比x更早的节点,(x, y)也就不是桥
桥一定是搜索树中的边，并且一个简单环中的边一定都不是桥
需要注意的是， 因为我们要遍历的是无向图， 所以从每个节点x出发，总能访问到他的父节点fa,根据low的计算方法，(x, fa)属于搜索树上的边，且fa不是x的子节点，故不能用fa的时间戳来更新low[x]。
但是，如果仅记录每个节点的父节点，会无法处理重边的情况——当x与fa之间有多条边时，(x, fa)一定不是桥，在这些重复计算中，只有一条边在搜索树上，其他的几条都不算，故有重边时，dfn[fa]能用来更新low[x]
解决方案是：记录“递归进入每个节点的边的编号”。编号可认为是边在邻接表中储存下标位置。把无向图的每条边看做双向边，成对存储在下标"2和3"，“4和5”,“6和7”…处。若沿着编号i的边递归进入节点x，则忽略从x出发的编号为i xor 1的边，通过其他边计算low[x]即可
下面的程序求出一张无向图中所有的桥。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100010;
int head[maxn],ver[maxn*2],nt[maxn*2];
int dfn[maxn],low[maxn],n,m,tot,num=0;
bool bridge[maxn*2];
void add(int x,int y)
{
ver[++tot]=y,nt[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
void tarjan(int x,int in_edge)
{
dfn[x] = low[x] = ++num;
for(int i=head[x];i;i=nt[i])
{
int y=ver[i];
if(!dfn[y])
{
tarjan(y,i);
low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]>dfn[x])
bridge[i]=bridge[i^1] =true;
}
else if(i != (in_edge^1))
low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
}
int main(void)
{
cin>>n>>m;
tot=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
}
for(int i=2;i<tot;i+=2)
if(bridge[i]) printf("%d %d \n",ver[i^1],ver[i]);
return 0;
}
三、割点判定法则：
若x不是搜索树的根节点（深度优先遍历的起点），则x是割点当且仅当搜索树上存在x的一个子节点y，满足：
dfn[x] <= low[y]
特别地，若x是搜索树的根节点，则x是割点当且仅当搜索树上存在至少两个子节点y1, y2满足上述条件
下面的程序求出一张无向图中所有的割点。
割点判定的符号为小于等于号，不必再考虑父节点和重边的问题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100010;
int head[maxn],ver[maxn*2],nt[maxn*2];
int dfn[maxn],low[maxn],st[maxn];
int root,n,m,tot,num=0;
bool cut[maxn];
void add(int x,int y)
{
ver[++tot]=y,nt[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
void tarjan(int x)
{
dfn[x] = low[x] = ++num;
int flag=0;
for(int i=head[x];i;i=nt[i])
{
int y=ver[i];
if(!dfn[y])
{
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]>=dfn[x])
{
flag++;
if(x != root ||flag>1) cut[x]=true;
}
}
else
low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
}
int main(void)
{
cin>>n>>m;
tot=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(x==y) continue;
add(x,y);
add(y,x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!dfn[i]) root=i,tarjan(i);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(cut[i]) printf("%d\n",i);
puts("are cut-vertexes\n");
return 0;
}
例题：HYSBZ - 1123 BLO
Byteotia城市有n个 towns m条双向roads. 每条 road 连接 两个不同的 towns ,没有重复的road. 所有towns连通。
Input
输入n<=100000 m<=500000及m条边
Output
输出n个数，代表如果把第i个点去掉，将有多少对点不能互通。
Sample Input
5 5
1 2
2 3
1 3
3 4
4 5
Sample Output
8
8
16
14
8
感觉题意有点偏差，应该是把与节点i相连的边都去掉之后（不去掉节点i本身），无向图中有多少个有序点对（x，y）满足x和y不连通。
对于询问的节点i，可能有两种情况
1.i不是割点
2.i是割点
若i不是割点，则将i以及与i有直接相连的边删去后，图分为了i和其他节点这两个部分
即：i被孤立出来了
此时对于不能与i联通的点的个数为n-1,即有n-1个点不能与i相互到达。
因为题目求的是有序点对，也就是说，例如(1, 2)和(2, 1)，这是不同的点对。
所以若i不是割点，则答案为2*(n-1)
若i是割点，则删去i以及所有与i相连的边后，图会分成若干个连通块。
最后的答案很显然，我们应该求出这些连通块的大小，两两相乘再相加
在图的连通性问题中，我们经常要从搜索树的角度来进行分析。
设在搜索树上，节点i的子节点集合中，有t割点s1,s2,s3…st满足割点判定法则dfn[i] <= low[sk]。于是删除i关联的所有边后无向图至多分成t+2个连通块
每个连通块的节点构成情况为:
1.节点i自身单独构成一个连通块
2.有t个连通块，分别由搜索树上以sk(1 <= k <= t)为根的子树中的节点构成
3.还可能有一个连通块，由除了上述节点以外的所有点构成。
（第三点，即虽然与i相连通，但i不作为搜索树的根。因为整个图是连通的，在不删掉任何一个点时，搜索树只有一个点为根，删掉与i直接相连的边，则被分开的是i，i的子树和i的父亲所在了连通块）
那么可以在tarjan算法执行深度优先遍历的过程中，顺便求出搜索树每棵“子树”的大小，设size[x]表示已x为根的子树的大小。
综上所述，删掉一个割点i之后，不连通的有序对数量为:
设sum = size[s1]+size[s2]+…+size[t-1]+size[t]
ans=size[s1] * (n-size[s1])+size[s2] * (n-size[s2])+…+size[st] * (n-size[st])+1 * (n-1)+(n-1-sum) *(1+sum)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100010,_maxn=500010;
int head[maxn],ver[_maxn*2],nt[_maxn*2];
int dfn[maxn],low[maxn],si[maxn];
ll ans[maxn];
bool cut[maxn];
int n,m,tot,num=0;
void add(int x,int y)
{
ver[++tot]=y,nt[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
void tarjan(int x)
{
dfn[x]=low[x]=++num;
si[x]=1;
int flag=0;
int sum=0;
for(int i=head[x];i;i=nt[i])
{
int y=ver[i];
if(!dfn[y])
{
tarjan(y);
si[x]+=si[y];
low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]>=dfn[x])
{
flag++;
ans[x]+=(ll)si[y]*(n-si[y]);
sum+=si[y];
if(x!=1||flag>1) cut[x]=true;
}
}
else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if(cut[x]) ans[x]+=(ll)(n-sum-1)*(sum+1)+(n-1);
else ans[x]=2*(n-1);
}
int main(void)
{
cin>>n>>m;
tot=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(x==y) continue;
add(x,y);
add(y,x);
}
tarjan(1);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
四、无向图的双连通分量：
若一张无向连通图不存在割点，则我们称它为 点双连通图
若一张无向连通图不存在桥，则我们称它为 边双连通图。
无向图的极大 点双连通子图称为“点双连通分量”，简记为“v-DCC”。
无向连通图的极大 边双连通图称为“边双连通分量”，简记为“e-DCC”
二者统称为“双连通分量”，简记为“BCC”
以下≤意为包含于
在上面的定义中，我们称一个双连通子图K（M，N）极大，M≤V，N≤E。
是指不存在包含K的更大的子图P（Q，T），满足M≤Q≤V，N≤T≤E。并且P也是双联通子图。
（简单来说，极大双连通子图，就是不存在一个包含此双连通子图的更大的双连通子图）。
定理：
一张无向连通图是“点双连通图”，当且仅当满足下列两个条件之一：
1.图的顶点不超过2
2.图中任意两点都同时包含在至少一个简单环中。其中，简单环指的是不自交的环。
一张无向连通图是“边双连通图”，当且仅当任意一条边都包含在至少一个简单环中
五、边双连通分量（e-DCC）的求法：
边双连通分量的计算非常简单，只需要求出无向图中所有的桥，将桥删除后，图会分成若干块，每一个连通块都是一个“边双连通分量”
在具体的程序实现中，一般先用tarjan算法标记出所有的桥边。然后再对整个无向图执行一次深度优先遍历（遍历的过程中不访问），划分出每个连通块。
下面的代码在tarjan求桥的参考程序基础上，计算出数组c，c（x）表示节点x所属的边双连通分量的编号。
int c[maxn],dcc;
void dfs(int x)
{
c[x]=dcc;
for(int i=head[x];i;i=nt[i])
{
int y=ver[i];
if(c[y]||bridge[i]) continue;
dfs(y);
}
}
//以下代码在main函数中
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!c[i])
{
++dcc;
dfs(i);
}
}
printf("There are %d e-DCCs.\n",dcc);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d belongs to DCC %d.\n",i,c[i]);
}
e-DCC缩点：
把每个e-DCC看作一个节点，把桥边(x, y)看做连接编号为c[x]和c[y]的e-DCC对应节点的无向边，会产生一棵树（若原来的无向图不连通，则产生森林）。这种把e-DCC收缩为一个节点的方法称为“缩点”。
下面的代码在Tarjan求桥、求e-DCC的参考程序的基础上，把e-BCC缩点，构成一棵新的树或者森林，存储在另一个邻接表中。
int hc[maxn],vc[maxn],nc[maxn];
int tc;
void add_c(int x,int y)
{
vc[++tc]=y;
nc[tc]=hc[x];
hc[x]=tc;
}
//以下代码加在main函数中
tc=1;
for(int i=2;i<=tot;i++)
{
int x=ver[i^1],y=ver[i];
if(c[x]==c[y]) continue;
add_c(c[x],c[y]);
}
printf("缩点之后的森林，点数%d，边数%d（可能有重边）\n",dcc,tc/2);
for(int i=2;i<tc;i+=2)
{
printf("%d %d\n",vc[i^1],vc[i]);
}
六、点双连通分量（v-DCC）的求法：
点双连通分量是一个极其容易误解的概念。它与前面的例题BLO中删除割点后图中剩余的连通块是不一样的。
若某个节点是孤立点，则它自己构成一个v-BCC。除了孤立点外，点双连通分量的大小至少为2。根据v-DCC定义的极大性，虽然桥不属于任何e-DCC，但是割点可能属于多个v-DCC。
为了求出“点双连通分量”，需要在tarjan算法的过程中维护一个栈，并按照如下方式维护栈中元素：
1.当一个节点第一次被访问时，把该节点入栈
2.当割点判定法则中的条件dfn[x] <= low[y]成立时，无论x是否为根，都需要：
(1)从栈顶不断弹出节点，直至节点y被弹出
(2)刚才弹出的所有节点与节点x一起构成一个v-DCC
下面的程序在求出割点的同时，计算出vector数组dcc，dcc（i）保存编号为i的v-DCC中所有的节点。
void tarjan(int x)
{
dfn[x]=low[x]=++sum;
st[++top]=x;
if(x==root && head[x]==0)//孤立点
{
dcc[++cnt].push_back(x);
return ;
}
int flag=0;
for(int i=head[x];i;i=nt[i])
{
int y=ver[i];
if(!dfn[y])
{
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]>=dfn[x])
{
flag++;
if(x!=root||flag>1) cut[x]=true;
cnt++;
int z;
do
{
z=st[top--];
dcc[cnt].push_back(z);
}while(z!=y);
dcc[cnt].push_back(x);
}
}
else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
}
//以下代码片段加在main函数中
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
printf("v-DCC #%d:",i);
for(int j=0;j<dcc[i].size();j++)
printf(" %d",dcc[i][j]);
putchar('\n');
}
v-DCC缩点：
v-DCC的缩点要比e-DCC的缩点复杂一些——因为一个割点可能属于多个v-DCC。
设图中有p个割点和t个v-DCC，我们建立一张包含p+t个节点的新图，把每个v-BCC和每个割点都作为新图中的节点，并在每个割点与包含它的所有v-BCC之间连边。
这张图就变成了一棵树或是一片森林。
下面的代码在Tarjan求割点和v-DCC的参考程序的main函数基础上，对v-DCC缩点，构成一棵新的树或者森林，存储在另一张链表中。
//给每个割点一个新的编号（编号从cnt+1开始）
num=cnt;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(cut[i]) new_id[i]=++num;
//新建图，从每个v-DCC到它所包含的所有割点连边
tc=1;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
for(int j=0;j<dcc[i].size();j++)
{
int x=dcc[i][j];
if(cut[x])
{
add_c(i,new_id[x]);
add_c(new_id[x],i);
}
else c[x]=i;
//除割点外，其他点仅属于一个v-DCC
}
}
printf("缩点之后的森林，点数%d，边数%d\n",num,tc/2);
printf("编号1--%d的为原图的v-DCC，编号>%d的为原图割点\n",cnt,cnt);
for(int i=2;i<tc;i+=2)
printf("%d %d \n",vc[i^1],vc[i]);
七、例题：
POJ3694 Network。
AcWing 397 逃不掉的路： 边双连通分量，缩点，无向图必经边。
HDOJ 3686 Traffic Real Time Query System：
京公网安备 11010502036488号