P5277 【模板】多项式开根（加强版）

P5277 【模板】多项式开根（加强版）

这题好像没有a0=0的数据。

以下二次剩余使用mod以内较小的那个解。

（一）利用B²=A 得到 B=A^1/2 利用多项式的幂计算。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#define ll long long
#define llu unsigned ll
using namespace std;
const int maxn=8e5+100;
const int p=998244353;
const int mod=998244353;
const int g=3;

struct erCi
{
    struct node
    {
        ll x,y;
        node(){}
        node(ll a,ll b)
        {
            x=a,y=b;
        }
    };

    node mul(const node &a,const node &b,const ll &w,const ll &p)
    {
        node ans;
        ans.x=((a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p)%p+p)%p;
        ans.y=((a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)+p)%p;
        return ans;
    }

    ll mypow(ll a,ll b,ll p)
    {
        ll ans=1;
        while(b)
        {
            if(b&1) ans=ans*a%p;
            a=a*a%p;
            b>>=1;
        }
        return ans;
    }

    ll mypow(node a,ll b,ll w,ll p)
    {
        node ans=node(1,0);
        while(b)
        {
            if(b&1) ans=mul(ans,a,w,p);
            a=mul(a,a,w,p);
            b>>=1;
        }
        return ans.x%p;
    }

    ll fi(ll n,ll p=mod)
    {
        n%=p;
        if(p==2) return n;
        if(mypow(n,(p-1)/2,p)==p-1) return -1;
        ll a,w;
        while(1)
        {
            a=rand()%p;
            w=((a*a%p-n)%p+p)%p;
            if(mypow(w,(p-1)/2,p)==p-1) break;
        }
        node ans=node(a,1);
        ll res=mypow(ans,(p+1)/2,w,p);
        return min(res,p-res);
    }
}er;


int fi[maxn];
int a[maxn],inva[maxn],da[maxn],lna[maxn],c[maxn],iinv[maxn];
int f[maxn];
int n;

void get_inv(int n)
{
    iinv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        iinv[i]=1ll*(mod-mod/i)*iinv[mod%i]%mod;
}

int mypow(int a,int b)
{
    if(b<0) return mypow(mypow(a,p-2),-b);
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=1ll*ans*a%p;
        a=1ll*a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}

int getlen(int n,int m)//n，m是次数
{
    int len=1,cnt=0;
    while(len<=n+m) len<<=1,cnt++;
    for(int i=0;i<len;i++)
        fi[i]=((fi[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
    return len;
}

void ntt(int *x,int len,int f)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<fi[i]) swap(x[i],x[fi[i]]);

    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        int r=i<<1;
        int wn=mypow(g,f*(p-1)/r);
        for(int j=0;j<len;j+=r)
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                int xx=x[j+k],yy=1ll*w*x[j+i+k]%p;
                x[j+k]=(xx+yy)%p;
                x[j+i+k]=((xx-yy)%p+p)%p;
                w=1ll*w*wn%p;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        int invn=mypow(len,p-2);
        for(int i=0;i<len;i++)
            x[i]=1ll*x[i]*invn%p;
    }
}


void inv(int n,int *a,int *b)//n是项数
{
    if(n==1)
    {
        b[0]=mypow(a[0],p-2);
        return ;
    }
    inv((n+1)>>1,a,b);
    int len=1,cnt=0;
    while(len<=(n<<1)) len<<=1,cnt++;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        fi[i]=((fi[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
        c[i]=(i<n?a[i]:0);
        b[i]=(i<n?b[i]:0);
    }
    ntt(c,len,1);
    ntt(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        b[i]=(2-(ll)c[i]*b[i]%p+p)%p*b[i]%p;
    ntt(b,len,-1);
    for(int i=n;i<len;i++)
        b[i]=0;
}

void dao(int *a,int *b,int n,int len)
{
    for(int i=1;i<n;i++)
        b[i-1]=(ll)i*a[i]%mod;
    for(int i=n-1;i<len;i++)
        b[i]=0;
}

void ji(int *a,int n,int len)
{
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
        a[i+1]=(ll)a[i]*iinv[i+1]%mod;
    a[0]=0;
    for(int i=n;i<len;i++)
        a[i]=0;
}

void ln(int *a,int n)//n是项数
{
    int len=getlen(n-2,n-1);
    dao(a,da,n,len);
    inv(n-1,a,inva);
    len=getlen(n-2,n-1);

    ntt(da,len,1);
    ntt(inva,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) lna[i]=(ll)da[i]*inva[i]%mod;
    ntt(lna,len,-1);

    ji(lna,n,len);
}

void eexp(int *f,int *a,int n)//n是项数
{
    if(n==1)//a[0]已经处理好了
        return ;
    eexp(f,a,(n+1)>>1);
    ln(a,n);
    int len=getlen(n-1,n-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        lna[i]=(-lna[i]+f[i]+mod)%mod;

    lna[0]=(lna[0]+1)%mod;
    ntt(a,len,1);
    ntt(lna,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*a[i]*lna[i]%mod;
    ntt(a,len,-1);
    for(int i=n;i<len;i++)
        a[i]=0;

}

int main(void)
{
    scanf("%d",&n);
    get_inv(n);
    int inv2=mypow(2,mod-2);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&f[i]);
    int f0=f[0];
    ln(f,n);
    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=1ll*inv2*lna[i]%mod,lna[i]=0;
    a[0]=er.fi(f0);
    eexp(f,a,n);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",a[i]);
    putchar('\n');
    return 0;

}

（二）利用多项式开根求解，在最终时，首项B0=sqrt（A0），需要用二次剩余求解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#define ll long long
#define llu unsigned ll
using namespace std;
const int maxn=8e5+100;
const int p=998244353;
const int mod=998244353;
const int g=3;

struct erCi
{
    struct node
    {
        ll x,y;
        node(){}
        node(ll a,ll b)
        {
            x=a,y=b;
        }
    };

    node mul(const node &a,const node &b,const ll &w,const ll &p)
    {
        node ans;
        ans.x=((a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p)%p+p)%p;
        ans.y=((a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)+p)%p;
        return ans;
    }

    ll mypow(ll a,ll b,ll p)
    {
        ll ans=1;
        while(b)
        {
            if(b&1) ans=ans*a%p;
            a=a*a%p;
            b>>=1;
        }
        return ans;
    }

    ll mypow(node a,ll b,ll w,ll p)
    {
        node ans=node(1,0);
        while(b)
        {
            if(b&1) ans=mul(ans,a,w,p);
            a=mul(a,a,w,p);
            b>>=1;
        }
        return ans.x%p;
    }

    ll fi(ll n,ll p=mod)
    {
        n%=p;
        if(p==2) return n;
        if(mypow(n,(p-1)/2,p)==p-1) return -1;
        ll a,w;
        while(1)
        {
            a=rand()%p;
            w=((a*a%p-n)%p+p)%p;
            if(mypow(w,(p-1)/2,p)==p-1) break;
        }
        node ans=node(a,1);
        ll res=mypow(ans,(p+1)/2,w,p);
        return min(res,p-res);
    }
}er;

int fi[maxn];
int a[maxn],b[maxn],c[maxn];
int f[maxn],gg[maxn],ig[maxn],cf[maxn];
int inv2;

int mypow(int a,int b)
{
    if(b<0) return mypow(mypow(a,p-2),-b);
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=1ll*ans*a%p;
        a=1ll*a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}

void ntt(int *x,int len,int f)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<fi[i]) swap(x[i],x[fi[i]]);

    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        int r=i<<1;
        int wn=mypow(g,1ll*f*(p-1)/r);
        for(int j=0;j<len;j+=r)
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                int xx=x[j+k],yy=1ll*w*x[j+i+k]%p;
                x[j+k]=((xx+yy)%p+p)%p;
                x[j+i+k]=((xx-yy)%p+p)%p;
                w=1ll*w*wn%p;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        int invn=mypow(len,p-2);
        for(int i=0;i<len;i++)
            x[i]=1ll*x[i]*invn%p;
    }


}

void inv(int n,int *a,int *b)
{
    if(n==1)
    {
        b[0]=mypow(a[0],p-2);
        return ;
    }
    inv((n+1)>>1,a,b);
    int len=1,cnt=0;
    while(len<=((n-1)<<1)) len<<=1,cnt++;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        fi[i]=((fi[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
        c[i]=(i<n?a[i]:0);
        b[i]=(i<n?b[i]:0);
    }
    ntt(c,len,1);
    ntt(b,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++)
        b[i]=(2-1ll*c[i]*b[i]%p+p)%p*b[i]%p;
    ntt(b,len,-1);
    for(int i=n;i<len;i++)
        b[i]=0;

}

void ssqrt(int n,int *f,int *g)
{
    if(n==1)
    {
        g[0]=er.fi(f[0]);
        return ;
    }
    ssqrt((n+1)>>1,f,g);

    inv(n,g,ig);

    int len=1,cnt=0;
    while(len<=((n-1)<<1)) len<<=1,cnt++;
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        fi[i]=((fi[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1)));
        cf[i]=(i<n?f[i]:0);
        ig[i]=(i<n?ig[i]:0);
    }
    ntt(cf,len,1);
    ntt(ig,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) cf[i]=1ll*cf[i]*ig[i]%mod;
    ntt(cf,len,-1);
    for(int i=0;i<n;i++) g[i]=1ll*(g[i]+cf[i])*inv2%mod;
}
int main(void)
{
    inv2=mypow(2,mod-2);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&f[i]);

    ssqrt(n,f,gg);

    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d ",gg[i]);
    putchar('\n');
    return 0;

}