CodeForces - 1194F Crossword Expert （组合数学）

题目vj链接

题面：

题意：
有 $n$n 个物品，取走第 $i$i 个物品有 $\frac{1}{2}$21​ 的概率花费 $ti$ti 的时间，有 $\frac{1}{2}$21​的概率花费 $ti+1$ti+1 的时间，必须按照 $1-n$1−n的顺序取走物品。

给定时间和 $T$T，问在 $T$T 内能取走物品的个数的期望。

题解：
我们设 $sum\left[i\right]为t\left[i\right]的前缀和$sum[i]为t[i]的前缀和，我们找到最大的 $pos$pos 满足 sum[pos]<=T。

然后我们枚举前 $pos$pos 个物品有几个物品花费了 $ti+1$ti+1 的时间。

（1）假设有 $x$x 个物品花费了 $ti+1$ti+1 的时间，且满足 x+sum[pos]<=T，那么期望 $ans+=(\frac{1}{2}{)}^{pos}\ast C(pos,x)\ast pos$ans+=(21​)pos∗C(pos,x)∗pos

（2）假设有 $x$x 个物品花费了 $ti+1$ti+1 的时间，且满足 $x+sum\left[pos\right]=T+1$x+sum[pos]=T+1，那么只能取走 $pos-1$pos−1 个物品：
若这 $x$x 个物品中有第 $pos$pos 个，即第 $pos$pos 个物品的状态已经确定，此时 $ans+=\left(\frac{1}{2}\right)\ast (\frac{1}{2}{)}^{pos-1}\ast C(pos-1,x-1)\ast (pos-1)$ans+=(21​)∗(21​)pos−1∗C(pos−1,x−1)∗(pos−1)
若这 $x$x 个物品中没有第 $pos$pos 个，那么第 $pos$pos 个物品的状态无论是否 $+1$+1，都不会取到第 $pos$pos 个，即此时第 $pos$pos 个的状态没有影响。此时 $ans+=(\frac{1}{2}{)}^{pos-1}\ast C(pos-1,x)\ast (pos-1)$ans+=(21​)pos−1∗C(pos−1,x)∗(pos−1)

若再去枚举有 $x+1$x+1 个物品花费了 $ti+1$ti+1 的时间的时候， $x+sum\left[pos\right]=T+2$x+sum[pos]=T+2，此时第 $pos$pos个物品一定不会取到，所以状态没有影响，直接不考虑第 $pos$pos 个即可。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define llu unsigned ll
#define ld long double
#define pr make_pair
#define pb push_back
#define lc (cnt<<1)
#define rc (cnt<<1|1)
#define len(x) (t[(x)].r-t[(x)].l+1)
#define tmid ((l+r)>>1)
#define fhead(x) for(int i=head[(x)];i;i=nt[i])
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=200100;
const int maxm=100100;
const int maxp=100100;
const int up=100100;


ll n,tt;
ll t[maxn],sum[maxn];
ll fac[maxn],inv[maxn];

ll mypow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&t[i]),sum[i]=sum[i-1]+t[i];
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=mypow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}

ll C(int n,int m)
{
    if(n<0||m<0||m>n) return 0;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

int main(void)
{
    scanf("%lld%lld",&n,&tt);
    ll inv2=mypow(2,mod-2);
    init(n);

    int pos=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(sum[i]>tt)
        {
            pos=i-1;
            break;
        }
    }
    ll nowt=sum[pos];
    ll ans=0;
    for(int x=0;x<=pos;x++)
    {
        if(nowt+x<=tt)
        {
            ans=(ans+mypow(inv2,pos)*C(pos,x)%mod*pos%mod)%mod;
        }
        else
        {
            ans=(ans+inv2*mypow(inv2,pos-1)%mod*C(pos-1,x-1)%mod*(pos-1)%mod)%mod;
            ans=(ans+mypow(inv2,pos-1)*C(pos-1,x)%mod*(pos-1)%mod)%mod;
            nowt-=t[pos--];
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}