一、二分图最小点覆盖：
给定一张二分图，求出一个最小的点集S，使得图中任意一条边都有至少一个端点属于S。这个问题被称为二分图的最小点覆盖，简称最小覆盖。
Konig定理：
二分图最小点覆盖包含的点数等于二分图最大匹配包含的边数。
证明：
首先，因为最大匹配是原二分图边集的一个子集，并且所有的边都不相交，所以至少需要从每条匹配边中选出一个端点。因此，最小点覆盖包含的点数不可能小于最大匹配包含的边数。如果能对任意二分图构造出一组点覆盖，其包含的点数等于最大匹配包含的边数，那么定理就能得证。构造方法如下：
（1）求出二分图的最大匹配。
（2）从左部每个非匹配点出发，再执行一次DFS寻找增广路的过程（一定会失败），标记访问过的节点。
（3） 取左部未被标记的点、右部被标记的点，就得到了二分图最小点覆盖。
下面证明该构造的正确性。经过上述构造方法之后：
（1） 左部非匹配点一定都被标记——因为它们是出发点。
（2）右部非匹配点一定都没被标记——否则就找到了增广路。
（3）一对匹配点要么都被标记，要么都没被标记——因为在寻找增广路的过程中，左部匹配点只能通过右部到达。
在构造中，我们取了左部未被标记的点、右部被标记的点。根据上面的讨论我们可以发现，恰好是每条匹配边都取了一个点，所以选出的点数等于最大匹配包含的边数。
再来讨论这种取法是否覆盖了所有的边：
（1） 匹配边一定被覆盖——因为恰好有一个端点被取走。
（2）不存在连接两个非匹配点的边——否则就有长度为1的增广路了。
（3）连接左部非匹配点 i，右部匹配点 j 的边——因为 i 是出发点，所以 j 一定被访问。而我们取了右部所有被标记的点，因此这样的边也被覆盖。
（4）连接左部匹配点 i ，右部非匹配点 j 的边——i 一定没有被访问，否则再走到 j 就找到增广路。而我们取了左部所有未被标记的点，因此这样的边也被覆盖。
证毕。
二分图最小覆盖的模型特点：每条边有2个端点，二者至少选择一个，我们称之为 2要素。
二、二分图最大独立集：
定义：
给定一张无向图G=（V,E），满足下列条件的点集S被称为图的独立点集：
（1）S含于V。
（2）任意的x，y∈S，（x，y）不属于E。
通俗的讲，图的独立集就是 任意两点之间都没有边相连 的点集。包含点数最多的一个就是图的最大独立集。
对应的，任意两点之间都有一条边相连 的子图被称为无向图的团。点数最多的团被称为图的最大团。
定理：
无向图G的最大团等于其补图GG的最大独立集。
注：GG=（V，EE）被称为G=（V，E）的补图，其中EE={ （x，y）不属于E}。
正确性显然。值得提醒的是，在一些题目中，补图转化思想能成为解答的突破口。
对于一般无向图，最大团、最大独立集是NPC问题。
NPC问题：即NP完全问题，是理论计算机科学中有关计算复杂性的一个概念。到目前为止，尚未找到任何NPC问题的多项式时间解法。换言之，此类问题难解，目前只能使用暴力搜索等方法计算。
定理：
设G是有n个节点的二分图，G的最大独立集的大小等于n减去最大匹配数。
证明：
选出最多的点构成独立集
等价于 在图中去掉最少的点，使剩下的点之间没有边
等价于 用最少的点覆盖所有的边
因此，去掉二分图的最小点覆盖，剩余的点就构成二分图的最大独立集。而最小点覆盖数等于最大匹配数。故最大独立集大小等于n减去最大匹配数。
三、有向无环图的最小路径点覆盖：
定义：
给定一张有向无环图，要求用尽量少的不相交的简单路径，覆盖有向无环图的所有顶点（也就是每个顶点恰好被覆盖一次）。这个问题被称为有向无环图的最小路径点覆盖，简称最小路径覆盖。
设原来的有向无环图为G=（V,E），n = | V |。把G中的每个点x拆成编号为x和x+n的两个点。建立一张新的二分图，1----n作为二分图左部点，n+1----2n作为二分图的右部点，对于原图的每条有向边（x，y），在二分图的左部点x与右部点y+n之间连边。最终得到的二分图称为G的拆点二分图，记为G2.
定理：
有向无环图G的最小路径点覆盖包含的路径条数，等于n减去拆点二分图G2的最大匹配数。
证明：
在有向无环图G=（V , E）的最小路径覆盖中，对于任意的x∈V，因为路径不相交，所以x的入度和出度都不超过1。因为每个节点都被覆盖，所以x的入度和出度至少有一个是1。
因此，最小路径覆盖的所有边，在拆点二分图G2中构成一组匹配。最小路径覆盖中每条边（x，y）的起点x与二分图每条匹配边（x，y+n）是一一对应的。
特别的，对于每条路径的终点t，因为t没有出边，所以在二分图中，t匹配失败。即路径的终点和二分图左部的非匹配点是一一对应的。
路径覆盖包含的路径条数最少
等价于 路径的终点数（出度为0的点数）最少
等价于 二分图左部非匹配点数最少
故G的最小路径覆盖的路径数等于n减去拆点二分图G2的最大匹配数。
最小路径可重复点覆盖：
给定一张有向无环图，要求用尽量少的可相交的简单路径，覆盖有向无环图的所有顶点（也就是一个节点可以被覆盖多次）。这个问题被称为有向无环图的最小路径可重复点覆盖。
在最小路径可重复点覆盖中，若两条路径u -> p -> v 和 x -> p -> y在p点相交，则我们在原图中添加一条边（x，y），让第二条路径直接走 x -> y，就可以避免重复覆盖点p。
进一步地，如果我们把原图中所有间接连通地点对x，y直接连上有向边（x，y），那么任何 有路径相交的点覆盖 一定能转化成 没有路径相交的点覆盖。
综上所述，有向无环图G的最小路径可重复点覆盖，等价于先对有向图传递闭包，得到有向无环图GG，再在GG上求一般的（路径不可相交的）最小路径点覆盖。
例题：hihoCoder 1127 二分图最小点覆盖和最大独立集：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#define ll long long
using namespace std;
const int _max=1005;
const int maxn=10005;
int head[_max],ver[maxn],nt[maxn];
int match[_max];
bool ha[_max];
int tot;
void add(int x,int y)
{
ver[++tot]=y,nt[tot]=head[x],head[x]=tot;
}
bool dfs(int x)
{
for(int i=head[x];i;i=nt[i])
{
int y=ver[i];
if(!ha[y])
{
ha[y]=true;
if(!match[y]||dfs(match[y]))
{
match[y]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main(void)
{
memset(match,0,sizeof(match));
memset(head,0,sizeof(head));
tot=0;
int n,m,x,y;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
memset(ha,0,sizeof(ha));
if(dfs(i)) ans++;
}
printf("%d\n%d\n",ans/2,n-ans/2);
return 0;
}
四、无向二分图的最小路径覆盖：
无向二分图的最小路径覆盖 = 顶点数 – 最大二分匹配数/2
给定一张二分图，求出一个最小的边集E，使得图中任意一个点都是边集E的某个顶点。
无向图的最小路径覆盖：
无向图的最小路径覆盖与二分图的匹配有公式：
无向图最小路径覆盖数=顶点数—二分图最大匹配数/2。
当求一个无向图的最小路径覆盖时，我们就要试图构造一个与这个无向图相一致的二分图：
运用拆点的技术，将无向图中的每一个顶点 i 拆成两个点 i 和 i′ (复制)，两个点分别属于不同的顶点集。
无向图中的边相当于双向边，即将 i 到 j 的边拆分成 i 到 j’ 的边和 j 到 i’ 的边
（大概就是直接建立无向图就好啦，其中一部分看作左部顶点，一部分看作右部顶点）
接下来就可以通过匈牙利算法求出最大匹配数。
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